donde G es la constante gravitacional de Newton, y c la velocidad de la luz. Tomando un ejemplo ficticio, para un objeto con 30ℳ_☉ semejante a un agujero negro, el radio de Schwarzschild es de cerca de 100 km.

Curiosamente, el radio de Schwarzschild había sido obtenido con anterioridad por John Michell en 1783, bajo el contexto de la gravedad de Newton y de la teoría corpuscular de la luz. Si bien el resultado que se obtiene es correcto, su soporte teórico no lo es. Según la idea de Michell, el radio crítico se puede obtener derivándolo desde un escenario gravitatorio donde la velocidad de escape ν es igual a las de la luz c de la fórmula newtoniana ν² / 2 = G ℳ / r para la velocidad de escape ν desde la superficie de una estrella de masa ℳ y radio r

La geometría de Schwarzschild es descrita por una métrica, en la cual se considera que la velocidad de la luz es igual a uno ( c = 1 ). En líneas generales, podemos expresarla como sigue:

ds = – ( 1 – r_s / r ) dt² + ( 1 – r_s / r )^-¹ dr² + r² do² ,

en que la cantidad ds corresponde al intervalo invariante del espaciotiempo, una medida absoluta de la distancia entre dos sucesos en el espacio y tiempo; t es una coordenada «universal» de tiempo; r es el radio de la circunferencia, definido de modo que en la circunferencia de una esfera su radio r es 2 π r, y do es un intervalo de un ángulo esférico.

Para facilitar la comprensión sobre lo que intentamos describir sobre la métrica de Schwarzschild, supongamos que un observador se mueve con su propio reloj, midiendo su tiempo con él, o sea, su propio tiempo pero, además, en su trayectoria comporta también una vara estándar para mediciones. El recorrido que realiza lo efectúa en línea recta y a una velocidad uniforme. Lejos de del observador se halla una observadora en reposo que efectúa las mismas mediciones de tiempo y distancia con su propio reloj sincronizado con el del observador y con su propia vara estándar e idéntica a la del observador.

Ahora, supongamos que el reloj del observador emite dos señales tictac mientras el se mueve, es decir marcan dos sucesos. Esos sucesos ¿también los percibe el reloj de la observadora? Según la relatividad especial, y la métrica de Minkowski para un espacio plano del concepto espaciotiempo einstiano, como lo vamos a poder apreciar en la figura 03.08.07.04.05 que insertaremos a continuación, se relacionan el tiempo propio del observador con el tiempo y el espacio de la observadora. En que el tiempo se asume para ser medido en metros; es decir, el tiempo multiplicado por la velocidad de la luz (así el cono de luz forma un ángulo de 45° con los ejes del tiempo y del espacio).

Fig. 03.08.07.04.05.- Nótese que el tiempo propio es invariante, es decir, es igual para la observadora como para el observador o para cualquiera que se halle en reposo (o que se muevan a una velocidad uniforme uno con respecto otro). Lo mismo rige para la distancia espacial donde ocurren dos acontecimientos simultáneos para el observador (de la simultaneidad).

A continuación, supongamos que se producen dos emisiones simultáneas de rayos cósmicos, una en cada extremos de la vara que mencionamos que comportaba el observador. En este caso, dado que el tiempo es separado para éste, entre los sucesos la distancia para él es cero y su tiempo propio también es cero; en cambio, la distancia propia σ se relaciona con el tiempo y distancia de la observadora, ya que la separación de t entre los dos sucesos no es cero, como lo podemos apreciar en la siguiente figura 03.08.07.04.06, en la cual se muestra otro de los aspectos de la métrica de Minkowski: la distancia propia también es invariante.

Fig. 03.08.07.04.06.- Dos emisiones de explosiones simultáneas de rayos cósmicos detectadas por un observador en movimiento ocurridas en ambos extremos de su vara estándar de medición.

Después de haber estado describiendo algunos aspectos sobre la métrica minkowskiana de un espaciotiempo plano, volvamos a la de Schwarzschild, la cual, a diferencia de la de Minkowski, está referida a una solución exacta derivada de las ecuaciones de campo de Einstein que describen el espaciotiempo curvo provocado por una estrella o masa esférica. Muchos la consideran como una generalización relativista de la fórmula de Newton para el campo gravitatorio terrestre.

Dado que anteriormente estuvimos tratado aspectos de otras coordenadas y que vamos a continuar haciéndolo más adelante, consideramos importante tener presente que en coordenadas casi esféricas la métrica de Schwarzschild asume la siguiente forma:

donde G es la constante de gravitación universal y ℳ se interpreta como la masa del objeto, planeta o estrella que crea el campo, y

dΩ = dθ² + sin² dθdf² ,

que es la métrica estándar para esferas. ℛ_s es la constante o radio de Schwarzschild que juega un importante rol en la solución, y Ω es el ángulo sólido.

Con esta preparación, ahora procedamos ha introducirnos con mayor profundidad en la métrica de Schwarzschild y en la temática del espaciotiempo curvo. También, tenemos que recordar que nos hemos estado moviendo en nuestro estudio desde las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares. En consecuencia, procedamos a ver como las distancias propias aparecen en las coordenadas polares. Podemos partir sosteniendo que una distancia pequeña ds, en un espacio plano de dos dimensiones, satisface el teorema de Pitágoras, y la misma distancia se puede expresar en términos de coordenadas polares como lo podemos apreciar en la figura 03.08.07.04.07.

Fig. 03.08.07.04.07.- Diagrama sobre como se dan las distancias propias en las coordenadas polares.

(ds)² = (dx)² + (dy)² = (dr)² + r² (df)².

Esta relación corresponde a la de un espaciotiempo plano, pero sustituyendo el cuadrado de s, es posible obtener con facilidad la métrica expresada para una relación en términos de coordenadas polares. Por lo general, los físicos acostumbran a omitir los paréntesis para tales expresiones. En consecuencia, la métrica, ahora para una pequeña cantidad con d, y en términos de coordenadas polares, es como sigue:

dτ² = dt² – dr² – r²df².

Y ahora, finalmente, vamos a la métrica de Schwarzschild. A la métrica de Schwarzschild para tiempo propio (o timelike, en término técnico) y para la distancia propia (o spacelike). La diferencia con un espacio plano, como es el caso precedente, es que los primeros dos términos tienen el «factor de la curvatura» expresado como sigue:

dτ² = (1 – (2ℳ /r))dt² – dr² / (1 – (2ℳ / r)) – r²df²
dσ² = – (1 – (2ℳ / r))dt² + dr² / (1 – (2ℳ / r)) + r²df²

Como hemos comentado ya, esta métrico es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio; pero para la geometría de Schwarzschild, es la base de todo. Con ella, es posible demostrar cómo se curvan el espacio y el tiempo, según desarrollamos sus formulaciones.

Elipse rojo = Horizonte de sucesos Azul animado = Singularidad

En la teoría general de la relatividad, el reloj de un observador en reposo marca su hora más lentamente cuando se halla dentro de un potencial campo gravitacional que fuera de él. En el caso de la métrica de Schwarzschild, el tiempo propio, el tiempo real medido en el radio r, por un observador en reposo durante el intervalo dt, el tiempo universal es (1 – ℛs / r)½ dt, el cual es menor que el intervalo del tiempo universal dt. Así, un observador en reposo ubicado a distancia observará que el reloj de uno de sus colegas, también observador en reposo pero que se encuentra en el radio r, marca más lentamente la hora que su propio reloj en un factor de: ( 1 – ℛs / r )½. Este factor de la dilatación del tiempo, tiende a ser cero en la medida que r se acerca al radio de Schwarzschild rs, lo que implica que un observador ubicado en el radio de Schwarzschild parecerá que se encuentra detenido si es observado por otro que se halla fuera del radio. Miremos los efectos de la gravedad sobre el tiempo desde la perspectiva de que es curvado por ésta cuando es extremadamente fuerte. Es un hecho, que el tiempo propio T localizado en coordenadas cercanas una estrella es más lento que el tiempo t que se halla en coordenadas más lejanas, debido a que el factor de curvatura es menor que uno (nótese que la diferencia entre coordenadas r es cero para dos sucesos –dos tictac de reloj– en una misma localidad espacial). Como una consecuencia directa de esto, la frecuencia de las señales de luz emitida por tales sucesos, parecieran ser más pequeñas para un observador lejano; en otras palabras, lo que sucede es que un observador lejano ven emisiones de ondas más largas que corresponden al corrimiento al rojo (redshift) generado por la gravedad. En decir, el tiempo se curva, y lo hace cada vez más, cuando se va acercando a la estrella. Fig. 03.08.07.04.09.- Si r se va acercando a 2M, el tiempo propio T se va haciendo cada vez más lento comparado con lejano tiempo t, hasta que llega a 0. Así, una señal de un reloj que se halla cercano a esa distancia toma, según la medición hecha por otro ubicado a una gran distancia, una espera casi infinita para emitirla. En esos espacios la curvatura del tiempo es marcadamente significativa. La esfera con un radio 2M es llamada horizonte; una señal que es emitida desde el horizonte toma un tiempo infinito (es decir nunca llega) al observador que se halla en una posición lejana a ese suceso. El retardo que produce la gravedad sobre el tiempo, como lo mencionamos, produce un corrimiento al rojo gravitacional de la luz o fotones. Es decir, un observador exterior verá la emisión de fotones generados dentro de un potencial campo gravitatorio en frecuencias más bajas, o equivalentes a longitudes de onda largas. Inversamente, un observador en reposo en un potencial campo gravitatorio verá los fotones generados en el exterior de su ubicación con un corrimiento al azul en alta frecuencia, y longitudes de onda cortas. Ahora, si asumimos la métrica de Schwarzschild, un observador lejano y en reposo, vera los fotones emitidos por una fuente inmóvil ubicada en el radio r con un corrimiento al rojo, siempre que la longitud de onda observada sea mayor en un factor de: (1 – ℛs / r)–½, que la longitud de onda emitida. El factor de corrimiento al rojo tiende al infinito como r se acerca a los Rs del radio de Schwarzschild, lo que implica que en el radio de Schwarzschild la aparición de algo será infinitamente en corrimiento al rojo, según lo que puede observar cualquier persona que se halle ubicada fuera del radio. En cuanto a que, el factor de corrimiento al rojo sea igual al de dilatación del tiempo, se debe a que el factor de corrimiento al rojo es, convencionalmente, un cociente de longitudes de ondas más que uno de frecuencia, no es que halla o que existan coincidencias. En este caso, los fotones son unos muy buenos relojes. Cuando un fotón está en corrimiento al rojo, su frecuencia, es el tictac de la tasa con la cual él se retrasa. En la ilustración de la derecha, mostramos a una fuente en reposo que en los radios 1,18 de Schwarzschild emite rayos de luz con la misma longitud de onda inicia,l en seis direcciones equidistantes. El rayo de luz que sale es corrimiento al rojo, mientras que los rayos que caen son convertidos en corrimientos al azul, desde el punto de vista de observadores en reposo en la geometría de Schwarzschild. Cinco de los seis rayos, terminan cayendo sobre el agujero negro. Los dos rayos de color amarillo deberían caer dentro del agujero, pero ello no se alcanza a apreciar en la ilustración. Fig. 03.08.07.04.10 ; Según la métrica de Schwarzschild, en los radios ℛs, en la distancia radial propia los intervalos llegan a ser infinitos, y el tiempo propio infinitamente lento, Dentro del radio de Schwarzschild, las distancias radiales propias y los tiempos propios pareciesen llegar a ser como un producto de la imaginación del autor o, si se quiere, la raíz cuadrada de un número negativo. Este razonamiento geométrico de Schwarzschild, pasó décadas antes de ser comprendido correctamente. El problema que comporta la métrica de Schwarzschild, es la descripción geométrica sostenida, solamente, en mediciones efectuadas por observadores en reposo, siempre que se hallen sobre el ℛs. Traspasado el radio de Schwarzschild, no pueden existir observadores, ni en reposo ni en movimiento: todo lo que pase ese límite radial cae irremediablemente en una singularidad. En efecto, el propio entramado del espaciotiempo se hunde en la singularidad, llevándose todo con él. Ninguna presión puede impedir el inexorable derrumbe. Ahora bien, lo que hemos expresado en el párrafo precedente sobre la métrica de Schwarzschild en relación a la singularidad, no implica que no tenga descripciones matemáticamente posibles para esa problemática. Existe un resto de la métrica que es teóricamente válida para acontecimientos que se podrían dar dentro del radio de Schwarzschild. Dentro del radio de Schwarzschild, si se procede a transformar los marcos de referencia que caen hacia dentro –o, hacia fuera, a un agujero blanco– más rápido que la velocidad de la luz, entonces la geometría llega a ser «normal» nuevamente.

Así como vimos que la gravedad afectaba al tiempo, obviamente que también se hace sentir en el espacio, especialmente en aquellos alrededores espaciales que circundan una masa considerable. Se trata de un tema que puede ser abordado, separándonos del tiempo, también desde la métrica. Para ello, consideremos un agujero negro, que es el caso donde se produce una extrema deformación del espacio. Como hemos estudiado, estos objetos comportan un punto en su centro, una singularidad, donde aglomeran toda la materia que han absorbido. En la figura 03.08.07.04.11 que insertamos a continuación es un diagrama, donde las lascas del espacio son de dos dimensiones, pero con el objetivo de analizar su curvatura, éstas se encastran en un espacio euclidiano de tres dimensiones. Fig.-03.08.07.04.11 El horizonte es donde r = 2 ℳ y, allí, el cociente dσ / dr llega a ser infinito. Como se suele afirmar en la literatura más generalizada, nada, incluida la luz, puede salir del horizonte. Como asimismo, también es imposible poder ver lo que acontece dentro del horizonte. En lo que concierne a la distancia propia σ en la medida que se va acercando cada vez más al horizonte su valor se con respecto a r se incrementa. De esta manera, el espacio se curva. La desviación de la luz emitida por una estrella cercana al Sol (la famosa predicción de Einstein, confirmada en 1919) se puede explicar en términos de la curvatura del espacio y del tiempo.

En el diagrama insertado a la izquierda, se ilustra el espaciotiempo de la geometría temporal de la métrica de Schwarzschild, soslayando la parte correspondiente sobre la información de la geometría espacial. El eje horizontal representa a la distancia radial, mientras que el eje vertical representa el tiempo. La línea vertical ciánica es la singularidad central en el radio cero, mientras que la línea vertical roja es el horizonte en un radio de Schwarzschild. Por su parte, las líneas amarillas y ocres son las que delinean los rayos de luz que se mueven radialmente, tanto hacia adentro como hacia fuera respectivamente. Cada punto en el radio r del diagrama representa una esfera espacial de tres dimensiones con una circunferencia de 2 π r. El color púrpura oscuro y azul de las líneas son, respectivamente, líneas de la constante de tiempo de Schwarzschild y de la constante del radio circunferencial. . La geometría espaciotiempo de Schwarzschild pareciera tener un comportamiento bastante mediatizado en el horizonte, precisamente en el radio de Schwarzschild (línea vertical roja en el diagrama). Sin embargo, esa mediatización es parte del andamiaje geométrico de su sistema de coordenadas. El espaciotiempo en sí mismo, tiene un comportamiento bastante aceptable en el radio de Schwarzschild, como se ha podido comprobar, llevando a escenarios computacionales a los componentes de los tensores de curvatura de Riemann, cuyos resultados muestran que todos siguen siendo finitos en el radio. Por otro lado, si uno analiza con detención el diagrama del espaciotiempo que hemos insertado arriba, se percata de los curiosos cambios que presenta el carácter de la geometría de Schwarzschild, tanto adentro como fuera del horizonte. En caída o salida de los rayos de luz, fuera del horizonte, se mueven, por lo general, hacia arriba, en la dirección en que se incrementa el tiempo de Schwarzschild; por su parte, dentro del horizonte, los rayos de luz entrantes y salientes se mueven generalmente hacia la izquierda, a la posición de la singularidad. Ahora, como la relatividad general permite cambios arbitrarios de designaciones de coordenadas. Procederemos entonces, a continuación, a describir algunos sistemas de coordenadas de mejor comportamiento en el radio de Schwarzschild. Se puede apreciar en las ilustraciones de arriba, que en el espaciotiempo de caída-libre, las coordenadas revelan que la geometría de Schwarzschild es semejante a un espacio plano común, con la característica, eso sí, que fluye radialmente así mismo, y hacia adentro, a la velocidad de escape newtoniana. ν = (2G ℳ / r)½. La velocidad de cáida ν con la cual traspasa la luz «c» el horizonte. En la ilustración animada, podemos figurarnos al espacio como si estuviese fluyendo, semejante a un río, hacia el interior de un agujero negro, e imaginarnos a los rayos de luz, a los fotones, como canoas batiéndose en una poderosa corriente. Fuera del horizonte, las canoas-fotones se baten con fuerza, como si navegaran río arriba, contra la corriente. Pero dentro del horizonte, el río del espacio fluye hacia adentro tan rápidamente, que voltea las canoas arrastrándolas hacia su destino final, la singularidad central. Muchos podrían pensar que, cuando describimos la caída de la luz dentro del horizonte de un agujero negro, ésta lo hace a una velocidad superior a los 299.792 km/s. Como todavía nadie ha descubierto un «taquión» (una teórica partícula que se movería a velocidades superiores a la de la luz), la velocidad a la que lo hace, es la que establece la ley de Einstein, que señala que un objeto se mueve en el espaciotiempo a la velocidad que es medida con respecto a un marco local inerte. Ahora bien, la métrica de caída-libre expresa matemáticamente las aserciones físicas antedichas. Por ello, vamos a proceder a continuación a estudiarla, partiendo como sigue: ds² = – dt∬² + (dr + ν dt∬)² + r² do², donde r es la usual coordenada radial de Schwarzschild, y la coordenada de tiempo de caída-libre t∬ es el tiempo propio que experimentaría una persona en caída radial libre hacia adentro, a una velocidad dr / dt∬ = ν, desde cero velocidad a infinita: t∬ = t + 2r½ + ln│(r½ – 1) / (r½ + 1)│, en unidades donde la velocidad de la luz y el radio de Schwarzschild ambos lo son, c = 1 y ℛs = 1. La métrica de caída-libre muestra que el espacio geométrico es plano, teniendo la métrica espacial dr² + r² do², en una hipersuperficie de tiempo de caída-libre fijo, dt∬ = 0. Los colores de las líneas en el diagrama espaciotiempo de caída-libre son como las graficadas para el de Schwarzschild, ya que delinean a los observadores en caída-libre radial desde velocidad cero a infinita, la del horizonte, verdes oscuras, son líneas que corresponden a la constante de tiempo en caída-libre, t∬.

La métrica de Schwarzschild admite raíces cuadradas, tanto negativas como positivas, para las soluciones de la respectiva geometría. La geometría completa de Schwarzschild consta de un agujero negro y de uno blanco, y dos universos conectados en sus horizontes por un agujero de gusano. La solución de una raíz cuadrada negativa dentro del horizonte representa a un agujero blanco, que es en realidad negro pero, que en el tiempo, funciona a la inversa, es decir, desde el fondo hacia arriba. Al igual que los agujeros negros, todo lo que ha podido aglomerar en su interior no es recuperable, ya que ellos serían producto de un espeto del negro. Sin embargo, los agujeros blancos no pueden existir, ya que violarían la segunda ley de la termodinámica. El tiempo de la relatividad general es simétrico. Además, en ella no se considera a la segunda ley de la termodinámica, ni tampoco cuáles son sus directrices de su causa y efecto. La solución de la raíz cuadrada negativa fuera del horizonte representa otro universo. El agujero de gusano une los dos universos distintos, lo que es conocido como el «puente de Einstein–Rosen».

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se diferencian de las de Schwarzschild solamente en los reliniamientos del tiempo. Ese reliniamiento, consiste en una reorientación de la caída de los rayos de luz, de modo que radialmente (líneas amarillas) se muevan en 45° en el diagrama del espaciotiempo. El tiempo de Finkelstein t_F está relacionado con el de Schwarzschild t por:

t_F = t + ln⃒r – 1⃒,

en unidades donde la velosidad de la luz y el radio de Schwarzschild son uno, c = 1 y ℛ_s = 1.

Los colores de las líneas son iguales a los que se aplicaron para el espaciotiempo de Schwarzschild: la líea roja es el horizonte; la ciánica, la línea del radio cero, es la singularidad; las líneas amarillas y ocres son, respectivamente, las que delinean radialmente la caída y salida de los rayos de luz; mientras que, las líneas con los colores púrpura y azul oscuro corresponden a la constante tiempo de Schwarzschild y a la constante del radio circunferencial, respectivamente.