La geometría del espacio-tiempo

Con lo que hemos expuesto en las dos secciones anteriores, creemos haber compilado suficientes argumentos teóricos como para poder preceder a describir cómo construir la geometría del espacio–tiempo. Aquí, no vamos a dejar de reconocer que nos introducimos en una materia bastante más complicada que la que presenta para muchos la geometría euclidiana. Sin embargo, no nos apresuremos a descartar posibilidades, ya que la intuición geométrica es muy poderosa y nos ayudará a visualizar la ruta.

De lo que hemos venido describiendo, surgen con naturalidad varia preguntas, las cuales ahora consideramos que nos encontramos en condiciones de poderlas contestar. Por ejemplo, es obvio que nos preguntemos ¿cómo comparamos las medidas de tiempo de dos personas? Hasta aquí, sólo habíamos considerado a un observador que estudiaba la relación entre dos eventos: uno en su línea de universo y otro externo. Ahora, si por el último pasa la línea de universo de otro observador que comporta su propio reloj, entonces nos encontramos emplazados a comparar lo que miden cada uno de los respectivos relojes de esos observadores. Para poder llevar a cabo ese proceso, consideramos que nos hallamos en condiciones de poder construir la geometría necesaria para que nos coadyuve a realizarlo. Sabemos que para hacer esa labor, en lugar de planos paralelos de tipo constante, como en los modelos aristotélico o galileano, los elementos geométricos básicos serán conos de luz.

Pero para proceder a construir esa geometría, debemos asumir primero, que ello no nos margina de la visión de las cosas que nos procura nuestra propia naturaleza humana, aunque ahora lo interpretemos de otro modo, nuestro entorno cercano es casi galileano y en él se desenvuelve nuestras vidas. En consecuencia, debemos obtener algo que se asemeje a nuestra percepción usual del espacio y el tiempo. Para ello, podemos iniciar esta construcción recuperando el concepto de eventos simultáneos con uno nuestro (en nuestra línea de universo). Pero para ello, no buscamos la relación entre dos eventos aislados, sino de todos esos eventos que normalmente diríamos que son simultáneos con alguno nuestro. En el marco galileano y, también, en el aristotélico, esos eventos formaban un hiperplano de tiempo constante o de simultaneidad. En el emplazamiento que nos hemos fijado, en cierto modo, trataremos de recobrar la misma noción; pero no van a ser «planos» y serán de simultaneidad solamente para nosotros, y no lo serán para todos los observadores. En nuestra cotidianidad, en esos marcos anteriores los planos eran comunes para todo el mundo; ahora no. Vamos a tener un hiperplano, hipersuperficie más bien, de manera tal que sus eventos serán simultáneos con uno nuestro. O sea, todos ellos van a tener un mismo tiempo, pero que será «nuestro tiempo». Será una igualdad que sólo tendrá sentido en nuestro reloj.

Figura 05.02.01.06.01. Evento Q', simultáneo con P con respecto a la línea de universo dibujada: t₁ = t₂..

Figura 05.02.01.06.02. Conjunto de eventos simultáneos con un evento dado, respecto a una línea de universo.

Figura 05.02.01.06.03. Conjunto de eventos simultáneos con P, los cuales forman una hipersuperficie en el espacio-tiempo.

Figura 05.01.03.04. Conjunto de eventos simultáneos, que ocurren un tiempo después que P (1 segundo en el diagrama), forman una hipersuperficie.

En la sección anterior, estuvimos estudiando como es posible que entre un evento P y uno Q haya un intervalo tipo espacio. Señalamos entonces, que ello era factible cuando una línea de universo que pase por P da como origen que tanto el evento P como el Q sean simultáneos para aquel observador que se halla propiamente tal en esa línea de universo (para ayudar a nuestra memoria, podemos concurrir a reestudiar la fig.05.02.01.05.09b). Ahora nos interesa analizar el proceso a la inversa. Supongamos que tenemos una línea de universo y un evento P en ella. Desde allí, procedemos a buscar hacia afuera todos los eventos Q’, separados de P por intervalos tipo espacio, de manera tal, que t₁ y t₂ sean iguales (fig. 05.02.01.06.01). Una vez que lo hayamos realizado, sabremos que la mitad de la diferencia (t₂ – t₁) representa el tiempo Δt transcurrido entre P y cada uno de esos eventos Q'. Si t₁ y t₂ son iguales, Δt = 0; o sea, el tiempo transcurrido entre este evento en nuestra línea y el evento externo seleccionado es nulo: son simultáneos. Usando este procedimiento, se encuentran otros eventos más cercanos o lejanos, todos los cuales satisfacen que sus respectivos t₁ y t₂ sean iguales (fig. 05.02.01.06.02). Después de identificarlos, se pueden unir en un continuo de puntos, generando una hipersuperficie que los contiene, como se representa en la figura 05.02.01.06.03.

Ahora, cuando nos estamos refiriendo a la hipersuperficie de tiempo constante como un hiperplano o hipersuperficie de simultaneidad, lo estamos haciendo porque estamos considerando que todos sus puntos son simultáneos con P, vistos desde la línea de universo elegida que pasa por P. Como hemos descartado la geometría usual, no podemos señalar si esta superficie es curva o plana, ya que no tenemos una geometría para poder realizar una comparación. Lo que sabemos es que tiene una dimensión menos que el espacio-tiempo y, por lo tanto, es una hipersuperficie de dimensión tres. Su simultaneidad con el evento donde intercepta la línea de universo, el evento P, es análoga a que fuera una especie de «perpendicular» a la línea de universo (nuevamente, sin geometría, no podemos decir lo que es perpendicular, pero más adelante veremos que no lo es en el sentido usual).

Como lo hemos descrito, lo anterior es una de las posibilidades para proceder a construir una hipersuperficie de simultaneidad para nuestra línea de universo, que corresponde al evento P en ella. Lo mismo se hace con un instante posterior en nuestra línea, por ejemplo un instante U, separado de P por un segundo. Desde U se construye la hipersuperficie que une todos los eventos que son simultáneos con él (fig. 05.02.01.06.04). Por ejemplo, desde la línea de universo se envían rayos de luz a puntos externos Q y se unen todos los puntos para los cuales esa diferencia vale 2 (es decir, para los cuales t₂ – t₁ = 2). De forma que la diferencia temporal ahora entre P y un Q en esta nueva hipersuperficie correspondiente a U, es ½ × (t₂ – t₁) = 1. Todos los eventos que están sobre ella (fig. 05.02.01.06.04), ocurren un segundo después que P y son simultáneos con U, para esa línea de universo. Lo mismo puede hacerse para otras diferencias de tiempo: 3, 4, 12,... segundos. Así se tiene una serie de hipersuperficies, cuyos eventos son todos simultáneos entre sí y con los correspondientes a su intersección con la línea de universo, pero esa simultaneidad sólo vale para esta línea de universo. Si se toma otra, que tenga el evento común P con la anterior, tendrá otra superficie de simultaneidad de P, ya que los tiempos de ida y vuelta desde el evento P a un evento externo dependerán de la línea. O sea, la simultaneidad sólo vale para eventos observables desde una línea de universo.

Un aspecto se tiene que tener presente: las superficies de simultaneidad que se pueden dibujar para una línea de universo no se pueden tocar entre ellas (fig.05.02.01.06.05). Por consiguientes, a eventos en la línea, que están separados por intervalos regulares de tiempo, les corresponderán hipersuperficies regularmente separadas. Como la velocidad de la luz es constante, las inclinaciones de los rayos de luz son fijas. Si dos superficies tuvieran puntos comunes, ello implicaría que a un mismo evento externo situado en ambas hipersuperficies, llegan dos rayos de luz provenientes de puntos distintos sobre la línea de universo (ya que partimos suponiendo que eran dos superficies distintas de simultaneidad, las que corresponden entonces, a distintos eventos en la línea). Esto implicaría que los dos rayos de luz irían a distinta velocidad, ya que partiendo de eventos que no son simultáneos en la línea de universo, llegan juntos al mismo evento externo, lo que contradice la constancia de la velocidad de la luz. Por lo tanto, los planos de simultaneidad que corresponden a eventos de una misma línea de universo no se pueden tocar, no importa cuán vecinos sean esos eventos en ella. Es decir, si dos eventos están separados en una milésima de segundo, los eventos en las hipersuperficies de simultaneidad correspondientes están separados en esa misma cantidad, «vistos» desde la línea de universo. Estas hipersuperficies no son paralelas entre sí, como lo son en el modelo clásico, sino que cada una va a tener una forma que dependerá de la línea de universo (fig.05.02.01.06.05).

Hemos procedido a descartar la geometría euclidiana, aquella con la cual convivimos en nuestro hábitat y, ahora, hemos construido líneas de universo y superficies de simultaneidad. Pero no sabemos si ellas son planas o curvas. Sin embargo, el mundo que nos rodea, aquel cuyo marco es en el que nos movemos y tenemos familiaridad con lo que estamos diciendo, es galileano, y lo percibimos así o aún, aristotélico, con una sencilla geometría euclidiana. Hablamos de nuestro tiempo, de medidas de distancia, etc., apoyados en nuestra vivencia inmediata. Entonces nos queda preguntarnos cómo podemos recuperar nuestro sentido común en este nuevo mundo sin geometría, después de desechar todo el marco aristotélico y el marco galileano. Pues bien, no nos queda más que ver cómo lo podemos recobrar. En la única forma que realmente tenemos, ya que no podemos suponer que tiempo y espacio son igualmente válidos para todo el mundo, tenemos que construir ese marco en términos de lo que cada uno puede medir. Será una geometría distinta, pero, en principio, cada observador obtendrá para sí un marco casi galileano. La clave es que lo que llamamos «nuestro mundo» es el entorno alrededor de nuestra línea de universo (digamos la ciudad, la Tierra, el sistema solar o nuestra galaxia). Y no nos podemos escapar de ella. Lo que habitualmente llamamos nuestro entorno físico, en un instante, son los eventos que pensamos que ocurren al mismo tiempo en el volumen de espacio que nos rodea. Como la velocidad de la luz es tan alta, este volumen en la práctica lo concebimos de un cierto tamaño. Y los sucesos que pensamos que ocurren al mismo tiempo son simultáneos entre sí. Es natural entonces considerar como nuestro marco local un pedacito cercano de las superficies de simultaneidad en cada uno de nuestros instantes. Por lo tanto, debemos considerar cómo definir en forma precisa distancias y simultaneidad en nuestro entorno, es decir, en forma local a los eventos que ocurren en nuestra línea de universo.

Figura 05.02.01.06.05. El conjunto de hipersuperficies de tiempo constante, respecto a una línea de universo, no se tocan o cruzan entre ellas.

La concurrencia de eventos en una hipersuperficie de simultaneidad, por lo menos, para nosotros, no tienen una separación puramente espacial con el suceso de su intersección con nuestra línea de universo (por definición, son simultáneos con él). De esa manera, para nosotros, sobre ella, hay una distancia definida entre uno de sus eventos y el nuestro respectivo. En una superficie inmediatamente posterior, podemos considerar el evento correspondiente que está a esa misma distancia de nuestra línea. Y así, sucesivamente, sobre una serie de hipersuperficies posteriores. Todos esos puntos están a la misma distancia de nuestra línea de universo. Si se unen esos eventos externos, ellos forman otra línea de universo que, para nosotros, está a una distancia constante de la nuestra, distancias medidas sobre las superficies de simultaneidad respectivas (fig. 05.02.01.06.06). Y así, operando en diversas direcciones, encontramos las líneas de universo de todos los observadores que guardan una distancia fija, naturalmente válida desde nuestro punto de vista, con nosotros. Las llamamos líneas de posición, porque definen posiciones fijas en nuestro propio sistema local.

Figura 05.02.01.06.06. Sobre hipersuperficies consecutivas de simultaneidad, con respecto a nuestra línea de universo, se unen los eventos que están a una distancia fija de aquellos correspondientes sobre ella, formando así líneas de universo «paralelas» a la nuestra. Ellas constituyen las líneas de posición.

Figura 05.02.01.06.07. Cada superficie de simultaneidad de nuestra línea de universo corresponde al espacio normal, en un instante dado. Estas superficies son trasladadas en el tiempo a lo largo de la línea de universo. En ellas se establecen los sistemas de coordenadas y distancias usuales x, y, z, válidos en cada instante.

En consecuencia, cada uno de los hiperplanos o hipersuperficies de simultaneidad es todo nuestro espacio físico en un instante dado. En ellos (fig.05.02.01.06.07), en los cuales interpretamos como el espacio físico usual en un instante nuestro, podemos establecer un sistema de referencia X, Y, Z, usando líneas de posición construidas paralelas a la nuestra, como lo explicamos a continuación. En efecto, en cada instante, tendremos un sistema de referencia local. Como el tiempo transcurre continuamente, estos sistemas «siguen» la línea de universo, constituyendo para el observador en ella, su sistema de referencia en todo momento. En el espacio-tiempo, es como arrastrar o trasladar el sistema de referencia X, Y, Z, con nuestra línea de universo, lo cual viene a ser lo que tenemos alrededor nuestro en diversos instantes. Un sistema de referencia local es válido para una línea de universo: está asociado a ella (para nosotros, a nuestra propia posición espacio-temporal). La distancia a las líneas de posición no cambia con el transcurso del tiempo, ya que están definidas así sobre las sucesivas hipersuperficies de simultaneidad. Por ejemplo, una piedra fija en el suelo o un edificio tienen líneas de universo de posición «paralelas» con respecto al marco de referencia que se puede construir asociado a la ciudad. Ella y el planeta pueden tener todo tipo de movimientos y aceleraciones, pero las distancias dentro de su sistema permanecen fijas.

Pero al visualizarse desde la perspectiva de otras líneas de universo, cada sistema local va cambiando con el tiempo, pegado a su propia línea de universo. En general, no es un sistema compatible para otros observadores. Con respecto a nuestra línea de universo, en cada instante, lo podemos considerar como un marco galileano local, válido para nosotros y nuestro tiempo. En relación a él podemos hablar de distancias y tiempos, entendidos en la forma usual. El sistema local no tendrá mayor sentido para otros observadores, pero mantiene su estructura rígida respecto de nuestra propia línea de universo desde la cual se definió. Su construcción puede ser realizada a todo su largo.

DIFERENCIACIONES DE TIEMPOS ENTRE OBSERVADORES

Figura 05.02.01.06.08. Líneas de universo correspondientes a dos observadores A y B, que tienen en común un evento P.

Figura 05.02.01.06.09. Representación de superficies de simultaneidad y líneas de posición para el observador B. Una de ellas es simultanea con el evento P, para este observador.

Ahora bien, si se nos presenta el caso de tener dos observadores distintos y queremos comparar las mediciones de tiempo y distancia que ellos obtienen; para ello, tenemos que concurrir a comprobar que ambos tengan un evento común, es decir, que se crucen sus líneas de universo. Así, en ese instante se pueden comparar directamente sus medidas. Pensemos en dos líneas de universo, A y B, que tienen un evento en común cuando los dos observadores se cruzan (fig. 05.02.01.06.08). Cada uno de ellos puede hacer la construcción anterior de hipersuperficies de simultaneidad propias. En los puntos de cada línea de universo se pueden construir – independientemente para uno como para el otro– los hiperplanos de tiempo constante y las líneas de universo paralelas, de una manera posicionalmente constantes con respecto a ella. Así, el observador A tiene las hipersuperficies de la figura 05.02.01.06.06 y el observador B las correspondientes que se hallan representadas en la figura 05.02.01.06.09. No obstante, para los objetivos que se persiguen con esto, los dos observadores cumplen con su rol ten bien como cualquier otro.

Dado que los dos sistemas son válidos; en consecuencia, por lo tanto, se pueden comparar sus mediciones en el mismo evento (fig.05.02.01.06.10). Geométricamente, es como sobreponer ambos conjuntos de hipersuperficies. Los eventos que están en la superficie de simultaneidad de P para el observador A, quedan sobre distintas hipersuperficies respecto de B. Es evidente que eventos que para A son simultáneos con P, para B no lo son. Los puntos que están sobre uno de estos planos de simultaneidad para un observador no están para el otro, de forma que lo que es simultáneo para uno, no lo es para el otro. Esto resume la relatividad del tiempo. Es claro de esta construcción que ni los tiempos, expresados en la simultaneidad, ni las distancias a los mismos eventos son iguales para dos observadores, porque cada uno tiene un sistema de referencia distinto.

Lo que estamos mencionando es que, básicamente, no hay un tiempo. El tiempo, como tal no es nada. Cada observador tiene «su propio tiempo». Sólo de acuerdo al suyo, las cosas son simultáneas o no. De forma que si, en general, se consideran dos observadores distintos, los eventos que son simultáneos para uno, no van a serlo para el segundo. Para que entendamos mejor esto último, luego vamos a ver algunos ejemplos.

Es cierto que para cada uno de nosotros existe un tiempo, pero ello es una consecuencia de nuestra limitada experiencia sensorial diaria, que, como ya lo hemos mencionado, se maneja en un marco básicamente aristotélico, o cuanto más, galileano. La relatividad nos muestra que la realidad es bastante más compleja. No existe un tiempo, hay una infinidad de tiempos. Es difícil cambiar el marco conceptual que se tiene, en especial, si no «sentimos» los diversos tipos que serían necesarios. Quizás, aún más complejo, la relatividad nos dice que el tiempo que percibimos es sólo una apariencia de la realidad que es mucho más rica, donde hay una infinidad de ellos, tantos como observadores puedan existir. El hecho que el tiempo propio de un observador sea el que mide su reloj, y que cada observador tenga un sistema de referencia natural asociado a su línea de universo (sus superficies de simultaneidad), nos permiten interpretar el tiempo usual como el propio. Más adelante, cuando ya nos introduzcamos, propiamente tal, en la relatividad, veremos cómo es posible hablar, con múltiples restricciones, de un tiempo del universo.

Por ahora, comparemos con más detalle, cómo cada observador se refiere a los diversos tiempos. Lo primero que hay que recordar es que cada observador sólo puede «observar» a otro cuando recibe un rayo de luz emitido por él. Si quiere comparar tiempos, lo puede hacer sólo entre eventos en su línea, o sea, si ambos tienen un evento común, o si uno de los eventos en su línea es «consultar» el reloj del otro. Los observadores podrán medir tiempos entre eventos en los cuales reciban rayos de luz o deducir cuándo ocurrieron otros eventos relacionados.

Figura 05.02.01.06.10. Superposición de las superficies de simultaneidad y líneas de posición de los observadores A y B. En las cuales los eventos simultáneos con P para uno de los observadores (la superficie sombreada es simultánea a P, para A) no son simultáneos para el otro, porque se ubican en una distinta superficie respecto a éste (superficie indicada con trazos fuertes).

Un ejemplo de lo que hemos expresado lo graficamos en la figura 05.02.01.06.11. En ella, diagramamos las líneas de dos observadores, A, y B. Si A «ve» a B; para ello, es necesario que reciba luz emitida por B. Por lo tanto, en ese instante, A está recibiendo un rayo de luz que partió desde un evento de B, anterior (que es el instante de B que A «ve»). Este último, no es simultáneo con el evento de A «ver a B», ya que la luz tomó tiempo en llegarle, el cual depende de la distancia entre ambos. Cuando A ve algo, el evento visto está sobre el cono de luz de su pasado.

Figura 05.02.01.06.11. A «ve» a B cuando recibe rayos de luz de éste. Los eventos de B que él ve están sobre sus correspondientes conos de luz del pasado.

Ahora, si miramos a un colega observador y vemos su reloj marcando las 16:30, esa imagen del instrumento marcando esa hora corresponde a un evento que ocurrió en nuestro pasado. Su conexión a nuestro evento presente («vemos su reloj»), es una línea de universo tipo luz. Nuestra visión, en un instante dado, es la del reloj justo en el evento cuando la luz parte de él hacia nosotros, ni antes ni después. Vemos los minuteros del reloj marcando ese instante: las 16:30, allá. Si lo observamos durante un rato, vemos una serie de sus eventos, exactamente aquellos que ocurren en él desde que empieza hasta que termina de enviar los rayos de luz que nos llegan. Lo vemos marcando sus segundos mientras lo miramos. Observando el reloj del colega, en forma continuada, podemos compararlo con la marcha de nuestro propio reloj. Estamos recibiendo una sucesión de rayos de luz, a medida que pasa el tiempo mientras observamos ese reloj. La pregunta es entonces: ¿cómo se comparan los tiempos de dos observadores, si uno mira el reloj del otro?

Figura 05.02.01.06.12. El observador A mira el reloj de B (que emite luz). En el evento común P sincronizan sus relojes.

Figura 05.02.01.06.13. El diagrama grafica el espacio-tiempo del encuentro en P de dos observadores, que previamente intercambian información (rayos de luz) en los eventos indicados.

Figura 05.02.01.06.14. Eventos Q y P entre los cuales los observadores A y B desean medir los intervalos temporales y las distancias. Ambos eventos están en la línea de universo de B. El intervalo espacio-tiempo entre Q y P es igual para A y B.

Figura 05.02.01.06.15. El observador A define al evento Q’ como simultáneo con Q.

Precisando los conceptos emitidos, conviene considerar para ello tener un punto donde la comparación entre los relojes sea inmediata y directa. Supongamos, por ejemplo, que los dos observadores tienen un evento común P (fig. 05.02.01.06.12). En éste los relojes están juntos, los observadores miran simultáneamente ambos relojes y los sincronizan; los ponen en cero, o en otro número, pero a la misma hora. Una vez realizado este proceso, podemos comparar la marcha de los relojes, cuando se acercan o se alejan del evento común P. Para hacer las matemáticas sencillas, tomaremos algunos números particulares, cuyos cuadrados y sumas de cuadrados, tengan raíces enteras. Los resultados serían similares, pero con números con muchos decimales, si usamos un ejemplo cualquiera.

En la figura 05.02.01.06.13 representamos la situación que acabamos de describir, donde dos observadores, A y B, se juntan en P. Supongamos que en el evento R, A envía una señal luminosa a B, que éste recibe en el evento Q. Inmediatamente B lo refleja hacia A, quien lo recibe en el evento S. Para llegar a entenderlo mejor, hagamos una selección de guarismos, considerando, eso sí, que siempre los tiempos los mide cada observador entre dos eventos en su propia línea de universo. Supongamos que en el reloj de A transcurren 3 segundos desde R hasta la respuesta que recibe en S, y que transcurren otros 2 segundos más hasta el encuentro P (fig. 05.02.01.06.14). Luego, desde el evento R, en el reloj de A pasaron cinco segundos hasta que se encuentra con B. Dado que la luz viaja más rápido que los observadores, ésta reflejada en Q llega siempre a un evento S antes que ocurra P.

Ahora, si deseamos comparar el tiempo entre los eventos Q y P que ambos observadores estiman que efectivamente transcurrió; para ello, requerimos concurrir a lo que ya hemos estudiado de la teoría de la relatividad, la cual nos indica que la relación entre los eventos se establece por intermedio del intervalo espacio-tiempo que se da en ellos. Dado que el intervalo relativista es el mismo, o sea, tiene un valor único sin importar quien lo mida, igualamos esas dos medidas del mismo intervalo espacio-tiempo y de allí deducimos la relación que existe entre los tiempos y la distancia entre los dos eventos seleccionados, según los mide cada observador.

En este caso, relacionemos las medidas de tiempo entre Q y P, según lo ven los observadores A y B. Para el observador B, estos dos eventos ocurren en su propia línea de universo. Luego para él, esa separación es puramente temporal. Llamemos t el tiempo que para B transcurre entre Q y P (fig.05.02.01.06.14). Dado que no conocemos este tiempo, estamos, en consecuencia, emplazados a encontrar cuál es su valor numérico. Como la separación es puramente temporal, para B este intervalo espacio-tiempo tiene la forma (Δs)² = –t². Recordemos que el Δ del Δs nos dice que los eventos están en una vecindad apropiada, razón por la que podremos suponer que entre ellos hay un valor único del (Δs)².

El observador A, por su parte, tiene el evento P también sobre su línea de universo, pero el evento Q es externo (está sobre la línea de B), y sabe cómo determinar el valor de ese intervalo. Como ya se ha descrito, lo puede hacer usando los dos tiempos t₁ y t₂ que, sobre su línea de universo, relacionan un evento P sobre ella y otro evento externo Q. El tiempo t₁ = 9 seg. se mide desde que A, en R, envió el rayo de luz (que llega al evento Q) hasta que ocurre el evento P. El tiempo t₂ = –4 seg, se mide entre P y el evento S, cuando A recibió el rayo de vuelta (recordemos que S es anterior a P y por eso el signo es negativo). El observador A calcula el intervalo espacio-tiempo entre Q y P, que habíamos denotado (Δs)², como el producto de los dos tiempos t₁ × t₂, que en este caso es el producto de t₁ = –4 seg por t₂ = 9 seg, lo que da (Δs)² = –36 [s]². Para A este intervalo es una mezcla de distancia y tiempo, que se expresa como (Δs)² = (Δd / c)² – (Δt)², donde aquí Δt es el tiempo para él.

Ahora, y dado que el valor del intervalo relativista Δs, entre Q y P, es el mismo para A y B. Entonces, para B el intervalo también vale –36 [s]², pero es solamente tiempo –t². Luego deducimos que según él, el intervalo t vale 6 segundos, ya que –(6²) = – 36. Esto quiere decir que B ve que su propio reloj marca 6 segundos entre los eventos Q y P. O sea, según B el tiempo transcurrido entre Q y P es, sin ninguna duda, de 6 segundos, medidos por su reloj. Por su parte, el observador A ve que el reloj de B marca seis segundos entre Q y P. Él recibe en S la señal que le llega del evento Q de B, es decir, cuando el reloj de B marca la hora en que ocurre ese evento. De esa manera, A observa que entre los eventos S y P, en el reloj de B transcurren seis segundos hasta que se encuentren (él puede observar continuamente el reloj de B mientras se acercan). Sin embargo, en su propio reloj, entre los mismos eventos S y P, él observa que transcurren sólo 4 segundos. De forma que, desde este punto de vista, A encuentra que su reloj va 50% más rápido que el reloj de B. O sea, el tiempo de A no es el mismo que el de B.

Claro está, que A se da cuenta de que realmente su experiencia del evento Q no es directa, sino que ese evento está en el pasado del evento S. Literalmente, A está mirando el pasado, porque está observando el reloj de B, cuya imagen demora un tiempo en llegarle. Entonces, es natural que exista una diferencia. En verdad, A debe preguntarse por el instante real en que Q ocurrió, cosa que puede estimar. Para ello A debe determinar cuál es el evento Q' que, en su línea, es simultáneo con Q y medir el tiempo entre ese evento y P (fig. 05.02.01.06.15). Luego debe comparar ese tiempo transcurrido entre Q' y P con el tiempo de los seis segundos que B registró entre Q y P. Como es natural, el evento Q’ debe hallarse en la mitad del intervalo de cinco segundos entre R y S (ya que el reflejo de la luz en Q debe ocurrir en ese instante porque la luz se demora lo mismo en ir y volver). Así, Q' ocurre 2,5 segundos después que R y la misma cantidad de segundos antes que S. Entre S y P transcurrieron cuatro segundos, en consecuencia, entre Q’ y P han pasado 2,5 + 4 = 6 segundos.

De lo que hemos descrito, podemos deducir que los tiempos entre los mismos eventos transcurren de distinta manera según diversos observadores. No solamente ellos «ven» que los relojes tienen distinto ritmo, sino que además los que aparecen como los «mismos» tiempos se miden con distintos valores. Vimos que A observaba que el reloj de B corría más rápido, porque marca seis segundos mientras que el propio marca solo cuatro segundos. Ahora resulta que entre eventos simultáneos el de B marca seis segundos mientras que el de A marca seis coma cinco segundos. De forma que para A el reloj de B en realidad corre más lento, porque entre Q y P marca seis segundos, mientras que el propio marca seis coma cinco segundos; al revés que lo anterior. Si bien, el reloj que se acerca parece marchar más rápido para el observarlo; sin embargo, si se calculan intervalos temporales entre eventos simultáneos, ese reloj va más lento.

En síntesis, entre eventos que son simultáneos para un observador, los tiempos marcados por distintos relojes, en movimiento entre sí, son disímiles. En este ejemplo, el hecho que dos observadores tengan una velocidad relativa está en la raíz de la diferencia del transcurrir del tiempo, que es relativo a cada observador. Lo que es absoluto es el valor del intervalo espacio-tiempo entre eventos adecuadamente cercanos. Entre Q y P ambos observadores encuentran que el valor de ese intervalo espacio-tiempo es –36 [s]²; eso no cambia. Pero sí las distancias y los tiempos, por separado. Esa «mezcla» especial de distancia y tiempo que conforma el intervalo relativista o intervalo espacio-tiempo entre dos eventos suficientemente vecinos, es igual para todos los observadores.

LOS EFECTOS DE LA VELOCIDAD RELATIVA

En la descripción que realizamos anteriormente, presentamos como ejemplo a dos objetos u observadores que se van acercando. Pero ¿qué sucede cuando se alejan y cuáles son los efectos que ocasionan en ellos los cambios de velocidad relativa? Para estudiarlo completamente, tomemos dos observadores que se alejan y luego se acercan, con los mismos números de antes para facilitar los cálculos.

Figura 05.02.01.06.16. El diagrama espacial de un estudio experimental con un observador en tierra y dos naves espaciales que se cruzan en la distancia, lejos de sus puntos de partida y llegada.

Figura 05.02.01.06.17. Diagrama igual al de la 05.02.01.06.16, sobre los tiempos medidos por cada observador en sus líneas de universo.

Con el objeto de facilitar el entendimiento de lo que queremos exponer en nuestro estudio experimental, pensemos en una situación simétrica. O sea, los objetos primero se alejan a una velocidad y luego se acercan a la misma velocidad. Por ejemplo, estamos en tierra, cuando en un evento I una nave espacial B pasa por allí (cruza nuestra línea de universo) y se aleja a una muy alta velocidad. A una cierta distancia se encuentra con otra nave C que viene en sentido opuesto con la misma velocidad (fig. 05.02.01.06.16). Supongamos que en el evento I sincronizamos nuestro reloj con el reloj de la primera nave. Luego, podemos suponer que las naves, al cruzarse entre sí en el evento que llamamos «cruce Q», común a ellas dos, los respectivos computadores de abordo también sincronizan sus relojes. La nave que viene hacia nosotros desde el cruce Q pasa por encima nuestro un rato después, cuando su reloj marca el tiempo que demoró para las naves el viaje de ida y regreso desde Q, medido por sus relojes.

Precisemos que la mitad superior del diagrama 05.02.01.06.16 es simétrica con la mitad inferior, debido a que las naves se acercan con la misma velocidad que se alejan. El evento Q del cruce de las naves está a una cierta distancia, que depende del tiempo de vuelo asumido. Para determinar su ubicación podemos pensar que enviamos pulsos de radar que rebotan en las dos naves espaciales. En la pantalla del radar veremos dos señales. Uno de estos pulsos rebotará precisamente cuando las naves estén juntas en el evento Q. Los pulsos de radar son líneas de luz, de las cuales en la figura 05.02.01.06.16 se indican dos: aquella que fue enviada en el evento R y que llega justo al cruce Q y su rebote que llega de vuelta en S.

Supongamos que el pulso de radar (luz) se demora 5 segundos en ir a Q y volver, o sea, entre R y S (en nuestro reloj). Y supongamos que el rayo lo enviamos 4 segundos después que pasó la primera nave espacial por el evento I. Como el diagrama es simétrico (por construcción, ya que suponemos iguales velocidades de ambas naves), también transcurren 4 segundos desde que se recibió la señal de radar en S y la pasada de la segunda nave por encima, que llamamos evento F. Entre I y R, y entre S y F, pasan 4 segundos (fig. 05.02.01.06.17). En nuestro reloj transcurren en total 4 + 5 + 4 =13 segundos entre el paso de la primera nave y la que viene de vuelta, o sea, entre I y F. Luego, nosotros diríamos que el cruce se produce 6,5 segundos después del paso de las naves espaciales, naturalmente en la mitad del intervalo entre ir y volver.

Ahora, dado que la geometría es la misma que en el problema anterior (con F reemplazando a P), el tiempo medido por el reloj que va en una de las naves es de 6 segundos entre Q y F (y por simetría, entre I y Q). O sea, las naves espaciales miden entre I y F un tiempo de 6 + 6 = 12 segundos. Pero, para los que estamos en la superficie terrestre, transcurren 6,5 segundos entre los eventos I y Q, desde que pasó la nave hasta el cruce. Sin embargo, el reloj de la nave mide 6 segundos entre los mismos eventos. El intervalo espacio-tiempo entre I y el cruce Q es siempre –36 [s]². Los computadores de navegación miden 12 segundos en total (ellos están sobre la línea de universo que pasa por I, Q y F). Pero desde tierra medimos un tiempo de 13 segundos entre el instante I y el instante F. De forma que el reloj que se aleja y vuelve mide menos tiempo que el que se queda. O dicho de otra manera, el reloj de los computadores, va más lento, porque midió solamente 12 segundos, contra los 13 segundos que midió el reloj en tierra: pasa menos tiempo en el reloj móvil. Sí, así es; y si se trata de una nave tripulada, los que van en ella envejecen menos que el observador en tierra.

Lo que hemos descrito en el párrafo precedente se ha experimentado en la práctica, muchas veces, con relojes muy precisos que se han enviado en satélites que, por lo general, orbitan varias veces a la Tierra. Una vez que han retornado al punto desde donde partieron hacia el espacio, se han recuperado los relojes y se les ha comparado con otros idénticos que quedaron en tierra. Los que fueron enviados al espacio marcan algo de menos de tiempo, ya que para ellos los segundos transcurren más lentamente. La diferencia es, realmente, muy pequeña (millonésimas de segundo), y es debido a que las velocidades en que se transportaban son bastante menores que la de la luz, por lo que los experimentos de esta naturaleza requieren usar relojes de una muy extrema precisión.

Este caso nos avala con números y en detalle, lo que señaláramos al principio. Es decir, que entre dos eventos los tiempos pueden ser distintos, dependiendo de la línea de universo sobre la que se midan. En las figuras 05.02.01.06.16 y 05.02.01.06.17 dos líneas de universo unen los mismos eventos, I y E Los tiempos medidos a lo largo de cada una son distintos. Si ellas divergen en un pequeño ángulo, o sea, si las velocidades relativas son pequeñas, las diferencias temporales también lo son. Si los ángulos de divergencia (o convergencia) son grandes, o sea, las velocidades son comparables con c, las diferencias temporales son significativas. Por supuesto, la máxima divergencia de las líneas se aproxima a un ángulo de 45°, que corresponde a la máxima velocidad relativa, que es la velocidad de la luz. En un cuerpo que se aleja o aproxima con esa velocidad, los efectos de tiempo son muy importantes.

Ahora, si queremos tener una idea de las velocidades y distancias envueltas en nuestro ejemplo, como ser cuál es la distancia al cruce Q, por ejemplo; la podemos obtener, como ya lo hemos visto otras veces, como el producto del tiempo que demora la luz en ir (o volver) por la velocidad de la luz c. El tiempo de ir y volver a Q son 5 segundos, la mitad son 2,5 segundos, que multiplicado por c da: 2,5 [s] × 299.792 [km/s], o sea, 749.480 [km].En consecuencia, el cruce ocurrió a 749.480 [km]; es decir, casi el doble de la distancia entre la Tierra y la Luna.

Por su parte, si necesitamos tener un cálculo de la velocidad de crucero de una nave espacial; para lograrlo, se procede a dividir la distancia que recorrió por el tiempo que demoró en el viaje. Aparece sencillo, verdad, pero no lo es tanto, ya que requerimos saber para quién es la distancia y el tiempo. Si asumimos que es para nosotros que estamos en la Tierra, por ejemplo, procedemos entonces, a calcular un largo para el trayecto, una velocidad o un tiempo transcurrido, y usamos esos datos en forma consistente. Por su lado, la tripulación podría calcular otros valores, que para ellos tengan un significado similar, lo cual también sería consistente. Para nosotros, la nave recorrió 749.480 [km] = 2,5 [s] × c. ¿Cuánto demoró en llegar allá? Para nosotros, 6,5 [s]. La velocidad es entonces: distancia/tiempo = 2,5 [s] × c / 6,5 [s] = 2,5 × c / 6,5 = 0,385c = 0,385 × 299.792 [km/s], es decir, 113.921 [km/s]. Este valor es 38% la velocidad de la luz. ¡Extremadamente rápidas estas naves! Vemos que se requiere una velocidad muy alta para tener un efecto apreciable. En este ejemplo, un reloj tiene un ritmo que es un factor 1/13 más rápido o más lento que otro (12 comparado con 13).

En este tema, como en otros relacionados con la relatividad, es importante considerar ciertos resguardos y precisiones. Cuando se hacen referencias al tiempo, por ejemplo, y se dice que éste se atrasa o se adelanta, muchas de las veces nos encontramos con situaciones donde las palabras que se usan no tienen el mismo significado que se les da en el lenguaje de uso habitual. En el caso anterior, en el que nos referimos al reloj de B o al reloj de A, dependiendo de qué experimento se haga, se encuentra que el reloj de B se atrasa o se adelanta con respecto al reloj de A. El tiempo entregado por el reloj de B, en la misma situación y circunstancias, es interpretado de formas diferentes. Si lo observamos directamente mientras se acerca, recibiendo los pulsos que marcan sus segundos, encontramos que se adelanta respecto a nuestro reloj (marcha más rápido). Si calculamos tiempos considerando intervalos entre eventos simultáneos para nosotros, comprobamos que el mismo reloj en igual circunstancia parece atrasarse. Lo que ocurre es que estas realidades no son intuitivas, no son de la vida diaria y, por lo tanto, no existen vivencias respecto de las cuales desarrollar un lenguaje apropiado que pueda ser comprendido rápidamente por todos. Son situaciones en las que la humanidad no tiene ninguna experiencia y para las cuales el lenguaje no tiene matices conceptuales, ni palabras precisas para expresarlas exactamente. La relatividad revela una realidad más rica y compleja que la aparente. El lenguaje usual no da cuenta de esta riqueza, por lo cual su uso lleva a ambigüedades, contradicciones y circunstancias paradójicas. Al referirnos a situaciones que envuelven el espacio y el tiempo, hay que hacerlo con mucho cuidado, para evitar estos problemas que son inherentes a la relatividad. Hay que insistir en definir los detalles de un experimento o situación y lo que se quiere medir u observar en él, de forma que no queden aspectos ambiguos o mal definidos, para que el concepto que corresponda aplicar sea claro. En ocasiones exigir estas definiciones puede sonar exagerado o fatuo.

Dadas las características que encierra la teoría de la relatividad, de una u otra manera, nos lleva a un mundo que es paradójico, cuyas realidades no intuimos y que, sobre ellas, no tenemos vivencias, por lo tanto, nuestro lenguaje no puede representarlas. Las realidades subyacentes a la teoría relativista son paradójicas porque son contradictorias a lo que nosotros esperamos en el mundo aparentemente aristotélico, en nuestro sistema local de referencia en el cual las cosas se mueven a muy baja velocidad. La única forma de tratar de «entenderlas» es adquiriendo una familiarización con sus paradojas y conceptos diferentes a los aplicados en nuestra cotidianidad. Esto es lo que hemos pretendido en estas páginas. Si alguien pide que se le explique rápidamente lo que es el tiempo, cabe una respuesta: ¿cuál de todos los conceptos de tiempo? En realidad es mejor no hacerlo, ya que es seguro que así, rápidamente, no pueda entender algo sobre lo cual no tiene una intuición directa, o peor aún, se quedará dentro de su intuición simplista ya que no tendrá tiempo para captar lo nuevo de la realidad relativista.

Con la igualdad del intervalo relativista para diferentes observadores se ha «explicado» el experimento de la vida media de los muones. Sin embargo, en el fondo, lo que se ha hecho es reemplazar algo paradójico (un muón en movimiento vive más que un muón estacionario) por otra cosa igualmente paradójica y alejada de la evidencia concreta (la igualdad del intervalo relativista). Especialmente cuando no se ha explicado por qué el intervalo relativista es constante. ¿Cuál es el valor del ejercicio si no nos da una clara explicación del fondo de los fenómenos? La única respuesta a esta interrogante válida es que la ciencia no pretende ni puede arrogarse tener las últimas respuestas. Su rol es crear esquemas o modelos que tengan una simplicidad y completitud conceptual, en el sentido que de unas pocas relaciones sencillas se puedan deducir todas las demás en un determinado dominio de fenómenos. Por ello, pensamos que esas relaciones más sencillas que hemos encontrado nos aportan un mejor entendimiento del funcionamiento de la realidad física. Si bien, ellas son tan sólo fugases ojeadas a la realidad, no obstante, para la ciencia son muy valiosas. Por lo tanto, la física no sabe o no puede hacerlo mejor, dado que no puede pretender ni está en sus objetivos llegar a tener una «explicación» de la esencia de las cosas.

EL PAPEL QUE JUEGA LA ACELERACIÓN

El ejemplo del viaje de las dos naves espaciales (fig. 05.02.01.06.16) corresponde a la conocida llamada paradoja de los gemelos. Según ésta, uno de ellos inicia un viaje interplanetario, mientras el otro permanece en Tierra. Después de largos años vuelve el viajero y se encuentra que es más joven que su hermano. Cada gemelo tiene su propia línea de universo, las que se separan al iniciar el viaje, encontrándose de vuelta en un evento común.

En las dos situaciones mencionadas podríamos preguntarnos lo siguiente. Para el observador en tierra el tiempo propio transcurrido era de 13 segundos mientras que para los tripulantes era de 12 segundos. Equivalentemente, para el gemelo que quedó en Tierra transcurrió más tiempo que para el viajero. Como el movimiento es relativo, podríamos pensar que desde el punto de vista de los tripulantes (o el viajero), ellos están inmóviles en sus líneas de universo y es la persona en Tierra la que se aleja, primero, y luego se acerca. De forma que la figura 05.02.01.06.16, desde el punto de vista de los tripulantes, debería verse simétrica respecto a las líneas de universo. Luego, el cálculo de tiempos debería hacerse en forma simétrica, obteniendo resultados exactamente inversos. . Esto, por supuesto, no parece que sea lo correcto.

La confusión nace del hecho que la simetría de los efectos de dilatación del tiempo entre observadores es válida sólo entre aquells que son inerciales (sobre lo último volveremos en la siguiente sección, por ahora solamente nos vamos a centrar en lo que encontramos directamente pertinente para considerar aquí). El caso es, que los tripulantes, o el gemelo viajero, no tiene una línea de universo inercial como lo es la del observador en tierra. En el punto de retorno (Q de la figura 05.02.01.06.17), la tripulación está sometido a una aceleración importante debido al funcionamiento de los motores de la nave que tripulan, para poder invertir la velocidad de alejamiento y transformarla en una de acercamiento. No importa que originalmente hayamos supuesto dos tripulaciones separadas, para no complicarnos con el proceso de inversión de la velocidad, ello no evita que esa línea de universo, considerada como una sola, esté quebrada en Q (cuando actúa la aceleración). La tripulación que tiene esa línea de universo no son observadores inerciales. Por lo tanto, hay procesos físicos esenciales que ocurren en esa línea de universo para que tenga la forma que tiene, que significa que no es inercial. Si no retornaran, siguiendo en movimiento uniforme, tendrían una línea de universo inercial y la situación sería simétrica (pero nunca se encontrarían y no habría comparación directa de tiempos propios).

La aceleración que interviene en esta situación es un fenómeno que puede determinarse internamente por la tripulación (o el viajero). Para ello, basta que lleven un acelerómetro que registre la acción de las aceleraciones que actúan sobre la trayectoria de la tripulación (B). Si el observador A, en tierra, tiene un acelerómetro, el instrumento no marca nada mientras el de B marcaría fuertes aceleraciones en el punto de retorno. Hay una diferencia entre la situación física de ambos observadores y no puede haber simetría entre ellos. La diferencia entre sus movimientos tiene consecuencias físicas medibles, como es la diferencia temporal que ya estudiamos. Este efecto de dilatación del tiempo propio es una muestra clara de que el tiempo es una cantidad que debe ser medida a lo largo de líneas de universo. Esta característica provee la interpretación correcta de la paradoja de los gemelos, de la cual también vamos hablar sobre ella más adelante.

Figura 05.02.01.06.18. Líneas de universo entre dos eventos P y Q. La línea del observador inercial A es la de mayor tiempo propio, la más «recta» en el espacio-tiempo entre dos eventos dados.

Lo descrito precedentemente puede ser expresado, en términos generales, de la siguiente manera: consideremos dos eventos P y Q, separados por un intervalo tipo tiempo, y un conjunto de líneas de universo que van de P a Q (fig. 05.01.03.18). Supongamos que cada observador lleva un acelerómetro, que mide las aceleraciones a lo largo de ellas. De esa manera, es posible demostrar que la línea de universo entre P y Q a la que corresponde el mayor tiempo propio es aquella que representa un movimiento inercial o en caída libre (si hay fuerzas gravitacionales). El tiempo propio es el más largo en tal línea de universo, que corresponde a la línea «más recta» entre los eventos en el espacio-tiempo (fig. 05.02.01.06.18). Entre todos los observadores que pasen por P y Q, será el inercial el que habrá envejecido más entre esos eventos. En este sentido, el observador inercial entre P y Q, tiene características especiales de entre todos los demás.

Lo que hemos expuesto puede interpretarse en el sentido de que el tiempo propio es una «medida del largo» de una línea de universo en el espacio-tiempo, sólo que su valor no es el mínimo para las líneas más rectas, sino que el máximo. Las «líneas de universo más rectas» son aquellas que son las inerciales y que tienen el largo máximo posible, medido por su tiempo propio. Naturalmente, que en el espacio usual euclidiano ello no tiene cabida, ya que la recta es la línea de menor distancia entre dos puntos. Pero, todo esto no es totalmente alejado de la intuición, ya que el valor del intervalo relativista incluye al tiempo (al cuadrado) con signo negativo.

Estas condiciones descritas vienen a clarificar lo que expusimos al principio de la sección anterior. En esa ocasión, señalamos, respecto de la figura 05.02.01.05.01, que se supondría una sola línea de universo posible entre los eventos R, P y S, lo que equivalía a considerarlos, junto a Q, dentro de una vecindad lo suficientemente pequeña. En tal caso, no era posible trazar líneas de universo entre R y P, o entre P y S, que se «contornearan» en el espacio-tiempo, lo cual permitía obtener un resultado único para el valor del intervalo relativista. Aquí, podemos expresar lo mismo al suponer que no hay líneas de universo que tengan aceleraciones entre R y P (o entre P y S, en la figura 05.02.01.05.01). 0 sea, podemos aplicar la invarianza del intervalo relativista entre dos eventos si nos restringimos sólo a líneas de universo de observadores inerciales entre ellos. Sólo una de tales líneas de universo pasa por dos eventos dados. Las demás no se pueden trazar, ya que tienen curvaturas que representan aceleraciones. Pero sí, podemos trazar líneas de universo no inerciales, ya que la vecindad no es pequeña. Sin embargo, si nos remitimos a dibujar sólo líneas de universo «rectas» (inerciales) entre eventos, entre éstos se puede aplicar la invarianza de su intervalo espacio-tiempo, como lo hemos mostrado en los ejemplos que hemos descrito. Ahora, si en ellos consideramos alguna línea de universo que se curva o quiebra, como la de las naves espaciales, entonces aparecen tiempos propios disímiles. En este sentido, es obvio que estaríamos impedidos de expresar que el intervalo espacio-tiempo entre los eventos F e I de la figura 05.02.01.06.17 tiene un valor constante para todos los observadores, dado que la vecindad que involucran a esos eventos es demasiado extensa.