Propiedades ondulatorias de las partículas

La idea de que toda partícula posee propiedades ondulatorias fue formulada por Louis-Victor De Broglie en un artículo publicado el año 1923. De Broglie era un aristócrata francés que ganó el premio Nobel de Física de 1929 por una tesis doctoral que elucidaba las propiedades ondulatorias de los orbitantes electrones. Se trató de un trabajo que ayudó a resolver una antigua paradoja al mostrar que los electrones pueden ser descritos ya sea como partículas o como ondas, según las circunstancias.

El punto de partida que tuvo de De Broglie para desarrollar su tesis fue la inquietante dualidad en el comportamiento de la luz, que en ciertos fenómenos se manifiesta como onda, en otros como partícula. Este desconcertante aspecto doble de la luz, estrechamente vinculado con la existencia misma de los cuantos, le sugirió la pregunta de si no podía esperarse hallar una dualidad del mismo orden en los movimientos del electrón, en el átomo regido por el cuanto.

Cuando De Broglie publicó sus ideas, jamás –al menos hasta entonces– el electrón había manifestado características ondulatorias análogas a las de la luz; no obstante, a pesar de ello, había dos indicios que parecían apoyar, en los razonamientos de De Broglie, la idea de ese paralelismo. Hay una analogía, conocida desde Jacobi y Hamilton, entre las trayectorias posibles de las partículas, concebida según la dinámica clásica, y los rayos de propagación de ondas, estudiados por la geometría óptica. Y esta profunda analogía se establece por intermedio de la «acción», es decir, precisamente por la magnitud física cuyas dimensiones son las del cuanto de Planck. Parecía que en esta conexión había un indicio de que el cuanto forma el vínculo, enigmático y oculto, entre los dos aspectos complementarios: la naturaleza granular y ondulatoria de las partículas de la materia. Ese paralelismo fue el que motivó a De Broglie a embrionar los inicios que dieron paso a la mecánica ondulatoria. Pero también había algo más que influyó en ese embrionage. En efecto, las órbitas estables del electrón, en el átomo, están caracterizadas por números enteros. Ahora bien, la intervención de números enteros es insólita en la dinámica clásica de las partículas, mientras es intrínseca a la teoría de los fenómenos ondulatorios: un motivo más que sugería admitir una estrecha conexión, ajena a la antigua mecánica newtoniana, entre partículas y ondas, e hizo sospechar que al movimiento de las partículas subyace tal vez una propagación ondulatoria.

Esas reveladoras analogías y algunas otras sencillas consideraciones propuestas por la teoría de la relatividad, llevaron a De Broglie a considerar que, como las pústulas de luz –los fotones– también los de la materia –electrones y protones– deberían estar acompañados en sus movimientos por ondas. Ligadas inseparablemente a las partículas de la materia, serían estas ondas las que guían y gobiernan –por lo menos estadísticamente– sus movimientos. La longitud de onda que De Broglie atribuye a las «ondas piloto», asociada a la partícula, es igual al cociente de la constante de Planck por el impulso del corpúsculo; es, pues, la misma que Einstein adjudicara a la onda luminosa del fotón. De Broglie escribió al respecto: “Son como dos ríos que por largo espacio corrieron separados terminan por mezclar sus aguas, dos grandes doctrinas (mecánica de los corpúsculos y teoría de las ondas) han llegado a su confluencia".

Pero no obstante, existe una importante diferencia entre la onda adjunta a los fotones y aquellas asociadas a las partículas materiales. Mientras las pústulas de luz y sus correspondientes ondas tienen la misma velocidad, esta identidad no se asocia a las partículas materiales y sus correspondientes ondas asociadas. Pero aunque partículas y ondas tienen velocidades disímiles, éstas no son independientes una de la otra; su producto tiene un valor constante. Sin entrar en detalles aquí, ya que lo haremos en nuestra descripción matemática de la hipótesis de De Broglie, agreguemos que los corpúsculos y sus sistemas de ondas, como quedará demostrado, son inseparables y forman una estructura permanente.

La idea de ligar lo continuo de la onda con lo discontinuo del corpúsculo otorgó una importante prueba sobre su posible viabilidad, cuando De Broglie, al aplicarla a los movimientos de los electrones en el interior de un átomo, consiguió hallar la razón de las órbitas cuantificadas de Bohr. Éste, en su modelo del átomo, todo ocurre como si estuviera regido por las prescripciones de un enigmático gobierno microcósmico, que permitía a los electrones trayectorias cuantificadas, y les prohibía las demás. Era obvio que ello correspondía a una cuestión que quedaba abierta por su carencia de precisión, pese a que era un postulado. Pero entonces la humanidad contaba con una brillante mente como la de De Broglie, ya que éste con su ponencia logró aclarar la curiosa selección de las imprecisas órbitas de Bohr. Siendo la órbita del electrón estable, su onda asociada también lo será: será una onda estacionaria, comparable a las ondas sonoras de un tubo o las de las cuerdas de una guitarra. Pero para que se pueda dar el hecho de que las ondas puedan continuar estacionarias, es necesario que ellas se cierren, volviéndose sobre sí mismas.

En consecuencia, la trayectoria de una onda es invariable, si su perímetro es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda, permitiendo a la onda asociada al electrón encontrarse después de cada recorrido en la misma fase. Sobre todas las otras trayectorias la onda no podría subsistir, sus fases discordantes la destruirían. Ahora bien, las únicas trayectorias que responden a la condición de la onda estacionaria, las únicas en las cuales las ondas pueden conservarse, son exactamente las órbitas, permitidas del modelo atómico de Bohr. Así la mecánica ondulatoria proporciona la llave de la curiosa selección de las órbitas en el átomo. El postulado de Bohr deja de ser arbitrario y se convierte, con de Broglie, en una exigencia lógica, impuesta al electrón por el carácter estacionario de su onda asociada.

Ahora bien, según esa idea imperativa de De Broglie, la razón por la cual la materia permite la coexistencia de esos dos aparentemente irreductibles fenómenos es precisamente la condición estacionaria de las ondas de la materia: lo estático de la partícula y lo vibratorio de la onda. Con esta interpretación que hace De Broglie para el átomo, es obvio que se aleja más que Bohr, de la la mini descripción planetaria de la idea atómica de Rutherford. Todo ocurre como si el electrón se encontrara, no en un punto determinado de su trayectoria, sino simultáneamente sobre toda la circunferencia de su órbita. Su circulación en tomo del núcleo deja de asimilarse a la traslación de un planeta en torno al Sol, asemejándose más bien a la rotación de un anillo simétrico que, a pesar de su movimiento, continúa ocupando el mismo lugar en el espacio. En otro aspecto, las ondas electrónicas se comportan como minúsculos circuitos oscilantes, acordados sobre longitudes de ondas determinadas.

Por otra parte, al igual que el electrón, otros constituyentes de la materia, protones y neutrones, están también acompañados en sus movimientos por ondas. La onda integra –según el pensamiento de De Broglie –cada partícula material. La estructura particulada es el atributo evidentemente manifiesto de la materia; junto a él cohabita su otro carácter no menos fundamental, poco más escondido: su ser ondulatorio, que sólo se revela en ciertos momentos. Siempre que el movimiento se asocia a la materia, la onda lo hace también. Puesto que no existe en el universo un punto material en reposo, en todas las partes donde hay materia hay ondas. Los dos aspectos, particulados y vibratorios, son indispensables, siendo su ligamento el cuanto elemental de Planck; no obstante, no es posible hallarlos juntos. Si la naturaleza exhibe en un fenómeno dado uno de sus aspectos, esconde rigurosamente el otro.

Ahora, estudiemos en términos matemáticos lo que hemos expuesto en los párrafos precedentes.

Las ideas que hemos descrito sucintamente de De Broglie, sobre el hecho de haber convertido la cuantificación de las órbitas en el átomo en una consecuencia perentoria de la naturaleza ondulatoria del electrón, fue, sin duda, un éxito alentador que cimentó el origen de la mecánica ondulatoria.

Para exponer nuestro estudio, partamos con las relaciones de Planck – Einstein para las ondas de los fotones de la luz ( energía / momento / frecuencia) las cuales se expresan como sigue :

Estas relaciones incorporan la esencia de la dualidad onda – partícula, al relacionar la frecuencia y longitud de las ondas con la energía y momento de partículas como un fotón. Ahora bien, dado que la luz también tiene una calidad de partícula, no puede ser sorprendente que las partículas puedan tener también características ondulatorias. Después de todo, podemos pensar en un fotón como partícula con masa cero. En la tesis doctoral de De Broglie, que mencionamos al principio, deja de manifiesto su convicción que si uno podía asociar características ondulatorias a las partículas, entonces la cuantización postulada por Bohr en su descripción de los espectros atómicos puede ser justificada. De Broglie previó las relaciones para las partículas que son formalmente muy similares a las expresadas arriba para la luz:

Por supuesto que entre ambas expresiones hay una diferencia significativa. La relación entre la energía y el momento E = cp, es mucho más complicada para las partículas que para el fotón. El aspecto más revolucionario de la hipótesis de De Broglie es probablemente la primera de estas relaciones, en la cual una partícula de momento p se halla asociada una onda plana de longitud

donde h es la constante de Planck. Podemos también expresar esta relación en términos del número de onda k, que es el número de los radianes con los cuales la fase de la onda se mueve en un metro:

De Broglie , para llegar a la conclusión de que el movimiento de una partícula de momento p está asociada una onda plana de longitud, partió generalizando en su hipótesis el caso de una partícula que se mueve en un campo de fuerza constante, producido por una función potencial F ( xyz ). Lo anterior, lo llevó a suponer que la propagación de la onda corresponde a un índice de refracción que varía de un punto a otro en el espacio, de acuerdo con la ecuación:

[06.02.01.01]

o bien, a una primera aproximación, siempre que las correcciones introducidas por la teoría de la relatividad sean mínimas:

[06.02.01.02]

en que E = W – m₀ c². La energía constante W de la partícula se encuentra asociada con la frecuencia constante ν de la onda, por medio de la relación:

W = bγ,

mientras que la longitud de onda t, que varía de un punto a otro del campo de fuerza, se encuentra asociada con el momento p igualmente variable, por medio de la siguiente relación:

Así se demuestra que la velocidad de grupo de las ondas es igual a la velocidad de la partícula. El paralelismo establecido de esta manera entre la partícula y la onda, nos permite identificar el principio de Fermat para las ondas con el principio de mínima acción para las partículas (para campos constantes). El principio de Fermat establece que el rayo, en el sentido óptico, que pasa a través de dos puntos A y B en un medio que tiene un índice n ( xyz ) que varía de un punto a otro, pero que es constante respecto al tiempo, es tal que la integral:

tomada a lo largo de ese rayo, es extrema. Por otra parte, el principio de Maupertuis de la mínima acción, nos dice lo siguiente: la trayectoria de una partícula que pasa a través de dos puntos A y B en el espacio, es tal que la integral:

tomada a lo largo de la trayectoria, es extrema; suponiendo, desde luego, que solamente se consideran los movimientos correspondientes a un valor determinado de la energía. Con base en las relaciones establecidas anteriormente entre los parámetros mecánicos y los ondulatorios, tenemos:

[06.02.01.03]

puesto que W es constante en un campo constante. De lo cual se desprende que los principios de Fermat y de Maupertuis son, recíprocamente, la traducción respectiva del otro; y que las trayectorias posibles de la partícula son idénticas a los rayos posibles de su onda.

Dentro del formulismo, los conceptos mencionados conducen a la factibilidad de interpretar las condiciones de estabilidad para los movimientos atómicos periódicos. De esa manera, las condiciones de la estabilidad cuántica surgen como análogos a los fenómenos de resonancia; y la aparición de los enteros resulta como un hecho natural.

No obstante, esta hipótesis, que en la actualidad es generalmente aceptada, no interpreta totalmente nuestra experiencia diaria: las partículas masivas no oscilan como una onda. Veamos por qué.

Cuando intentamos estimar la longitud de onda de De Broglie de un objeto con una masa de 10⁻⁶g y una velocidad de ⁻⁶m / s ( obsérvese que se trata de una pequeñísima partícula de movimiento lento y de momento pequeño), contamos con que la longitud de onda de De Broglie pudiera ser substancial. ¡En el hecho, dado que h = 6.6 ×10⁻³⁴ J s, encontramos que la longitud de onda de De Broglie es 6.6 × 10⁻¹⁹ m! O sea, su orden de magnitud es cuatro veces más pequeño que el diámetro de un típico núcleo atómico (no de un átomo, que es 6 órdenes de magnitud mayor). El valor de h es justamente tan pequeño que cualquier objeto más grande que un átomo tendrá siempre una longitud de onda de De Broglie extremadamente minúscula. Es difícil, de hecho, detectar una longitud de onda tan pequeña.

Distinto es el caso cuando hablamos de electrones de baja energía. Por ejemplo, un electrón con una energía de 13,6 eV, que concierne a la de enlace de n = 1 electrón en el hidrógeno, y corresponde a la energía típica de los electrones en los átomos. Esta energía es pequeña comparada con la masa del resto del electrón, así que podemos calcular el momento clásico:

[06.02.01.04]

en que substituyendo K = 13.6 eV, encontramos una longitud de onda de De Broglie de 0,33 nm = 3,3 Å ( ángstrom). Se trata de una cifra pequeña, pero en relación a las dimensiones atómicas es detectable y medible.

Por otra parte, las fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas y las partículas pueden ser aplicadas a los corpúsculos de la luz, bajo el supuesto de que en tal caso la masa en reposo m₀ es infinitamente pequeña. En realidad, si para un valor determinado de la energía W, se hace que m₀ tienda a cero, entonces se encuentra que v y V tienden a c y, en el límite, se obtienen las dos fórmulas sobre las cuales Einstein basó su teoría del cuanto de luz:

LAS ONDAS DE DE BROGLIE EN ÁTOMOS

Demos por hecho que la hipótesis de De Broglie es correcta, y que el electrón que orbita alrededor del núcleo de los átomos de hidrógeno sigue la relación que se propone en la hipótesis. Ahora, para poder contar con un estado inmóvil, necesitamos obtener las mismas condiciones de cuantización que logramos para la luz. Pero aquí, nos encontramos con la diferencia de la no linealidad del electrón en un átomo, ya que se encuentra en una órbita «circular». En consecuencia, requerimos un número integral de las longitudes de onda de De Broglie en una órbita:

[06.02.01.05]

o también:

[06.02.01.06]

La ecuación [06.02.01.05] corresponde, para una órbita circular, simplemente al momento angular. Así, se recupera en la relación de De Broglie la hipótesis de cuantización de Bohr.

Las estimaciones que se obtienen en el desarrollo de las ecuaciones [06.02.01.05] y [06.02.01.06], son más teóricas que prácticas. No obstante, sin embargo, es posible que sean concernientes a la realidad. La naturaleza de la onda del electrón se debe relacionar con la cuantización de los espectros atómicos. Se trata de una cuestión que todavía se encuentra abierta, pero los avances que se han realizado en los últimos años han sido significativos.

Tales son las ideas principales de la hipótesis de Louis de Broglie. Con ellas, se demuestra que es posible establecer una correspondencia entre las ondas y los corpúsculos, tal que las leyes de la mecánica correspondan a las leyes de la óptica geométrica. Sin embargo, como es sabido, en la teoría ondulatoria la óptica geométrica es solamente una aproximación; ésta tiene sus límites de validez y, en particular, cuando están implicados los fenómenos de interferencia y de difracción, resulta ser enteramente inadecuada cuando se trata de partículas clásicas. No obstante lo anterior, Existen pruebas directas y significativas del comportamiento ondulatorio de las partículas del microcosmos como el electrón. Se basan en el fenómeno de interferencia característico de las ondas y ausente en las partículas clásicas. Uno de los experimentos más directos y conclusivos fue el de Davisson y Germer en el año 1927. Aunque realizado después de la creación de la mecánica cuántica, permanece hasta hoy día como el indicador más claro y profundo de las manifestaciones cuánticas en el movimiento de las partículas.

ESQUEMA DEL EXPERIMENTO DE DAVISSON Y GERMER

Davisson y Germer estudiaron la reflexión de un haz de electrones incidente sobre un monocristal, siguiendo una idea usada anteriormente para la investigación de la naturaleza de los rayos X. Un haz de electrones procedente de un filamento calentado se acelera en un potencial electrostático e incide sobre el monocristal bajo cierto ángulo. Se observan los electrones reflejados mediante un detector cuya posición puede ser variada. También se puede variar el potencial acelerador y cambiar así la velocidad de los electrones. Los electrones experimentan reflexiones en los diversos planos paralelos de la red cristalina. La figura que insertamos a continuación del párrafo explica lo que ocurre al considerar sólo dos de estos planos. El haz que sale del monocristal se compone de dos haces reflejados por los dos planos diferentes (en realidad serían muchos). Los electrones recorren caminos distintos en los dos haces y la diferencia de camino es ι = ι₁ + ι₂ (véase la figura de abajo). De la geometría de la figura hallamos ι₂ = d / cos α, ι₁ = ι₂ cos 2α, donde d es la distancia entre los planos y de ahí ι = 2d cos α. Si los haces fueran dos ondas planas, como sucede con los rayos X, habría interferencia entre ellas con un máximo de intensidad correspondiente a una diferencia de fase múltiplo de 2π, o sea, para

[06.02.01.07]

2d cos α = nλ,

donde λes la longitud de onda y n es un entero. La ecuación [06.02.01.07] es la condición de Bragg para los máximos de rayos X reflejados por un monocristal. Cambiando el ángulo α se puede pasar de un máximo a otro y así medir la longitud de onda a partir de la diferencia en ángulo y d. Por otra parte, con partículas no se esperaría ver interferencia alguna ni, por lo tanto, máximos ni mínimos.

INTERFERENCIA DE DOS HACES REFLEJADOS DOS PLANOS DE UNA RED CRISTALINA

El experimento realizado por Davisson y Germer produjo resultados inequívocos: los electrones produjeron una interferencia clara con máximos según la fórmula de Bragg [06.02.01.07]. La longitud de onda de electrones con velocidades diferentes se mostró también de acuerdo con el postulado de De Broglie.

Pero este tipo de experimentos nos puede proporcionar demostraciones de aspectos aún más profundos y significativos, ya que nos demuestran, en una buena medida, la naturaleza de las ondas asociadas a las partículas. En efecto, si consideramos que el patrón de interferencia de los electrones no depende del haz incidente y, por ello, se llega a intensidades bajísimas tanto como para pensar que sólo unos pocos electrones o quizás uno solo arriben sobre el cristal, ello invita a pensar, como lo hizo De Broglie, que el electrón en sí es como un paquete de ondas. En consecuencia, un solo electrón debería dar el mismo patrón de interferencia que muchos de ellos, aunque con una intensidad muy baja, es decir, la misma imagen de la Fig. 06.02.01.05a. Pero en realidad sucede algo muy diferente. Cada electrón da un solo punto en la placa fotográfica del detector, esto es, se refleja con un ángulo fijo y se comporta, por lo tanto, como una verdadera partícula, entera y puntual, sin desdoblarse en partes. Aparentemente los ángulos o posiciones de los puntos donde aparecen en la placa resultan intervenidos. Sin embargo, al repetir el experimento muchas veces los puntos se van ordenando en un histograma regular que tiende a coincidir con la curva del patrón de interferencia de Bragg (Fig. 06.02.01.05b). Podemos concluir de ahí que el electrón no es un paquete de ondas en el sentido clásico, sino lo que proporciona su onda asociada es más bien la probabilidad de aparecer en un determinado lugar.

06.02.01.05

Fig. 06.02.01.05. Diagrama de la difracción de los electrones en los casos de mayor (a) y menor (b) intensidad del haz incidente.

Por su parte, los datos que se pueden obtener con el experimento del tipo Davisosn y Germer cuando se realizan con partículas de tamaños mayores o más veloces son bastante instructivos para un estudio. Por ejemplo, está el caso que para p creciente la longitud de onda λ se hace bastante pequeña. Lo anterior, es debido a que el patrón de interferencia muestra muchas oscilaciones (Fig. 06.02.01.06). Ese fenómeno, es producto de que los detectores tienen su resolución propia y llega un momento en el que no pueden distinguir entre máximos vecinos, indicando entonces una distribución homogénea efectiva que resulta al promediar sobre las oscilaciones de interferencia. La imagen es entonces la que corresponde a las partículas en la física clásica. Como vemos, la transición de la región cuántica a la clásica procede de una manera bastante peculiar. No se puede decir que para partículas grandes no haya interferencia. Más bien la interferencia resulta inobservable, de modo que las partículas grandes pueden ser descritas en los términos de la física clásica.

f_06.02.01.06

Fig. 06.02.01.06. La difracción de partículas con masa o velocidad grandes.

Resumiendo, los hechos experimentales demuestran que a una partícula libre de momento p le corresponde una onda plana de longitud de onda λ = h/p según la hipótesis de De Broglie y por consiguiente con un vector de onda K que satisface

[06.02.01.08]

p = ħk,

donde se utilizó que el vector k evidentemente está dirigido a lo largo de p. Nos queda por hallar la frecuencia de esta onda ω(k). La velocidad del grupo v_g debe coincidir con la velocidad de la partícula misma. De otra manera la onda se separaría de la partícula, bien localizada según la experiencia que se tiene al respecto. Por lo tanto, debe cumplirse que v_g = p/ m = Ñ_ĸω(k). Con [06.02.01.08] obtenemos una ecuación para ω(k), cuya solución es la siguiente:

[06.02.01.09]

ω(k) = ħk² / 2m.

Ahora, la ley de dispersión [06.02.01.09] es muy diferente de la de las ondas monocromáticas que tienen la misma velocidad. Según, [06.02.01.09] esto no es así para las ondas asociadas a las partículas: siempre tienen dispersión. Esta circunstancia va a tener sus consecuencias en cuanto al comportamiento con el tiempo de las ondas asociadas a las partículas, que estudiaremos más adelante. Notemos según [06.02.01.09] que la energía de la partícula libre ℰ = p² / 2m es proporcional a la frecuencia:

[06.02.01.10]

ℰ (p) = ħω(k) = 2πħν(k).

En que, es la misma relación introducida por Planck para la energía del campo electromagnético.

En consecuencia, podemos escribir la onda plana que corresponde a una partícula libre como sigue:

[06.02.01.11]

Ψ(t, r) = ϕ(k) exp (irk – iω(k)t),

donde φ es la amplitud, la cual está relacionada con la probabilidad de la presencia de la partícula y k y ω en que están determinadas por su momento y energía según [[06.02.01.08] y [[06.02.01.10]. La onda más general que corresponde a una partícula localizada es un aglomerado de ondas planas [[06.02.01.11]

[06.02.01.12]

ψ(t, r) = _∫ (d³ k / 2π^3/2) ϕ (k) exp (irk – iω(k) t.