06.02.02
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 En nuestra experiencia diaria, todos estamos familiarizados con el movimiento de las partículas de objetos sólidos, como ser las bolas sobre una mesa de billas. Sin embargo, para describir el movimiento de una partícula, por ejemplo, un electrón en un átomo, en la mecánica cuántica se introduce lo que se conoce como «función de onda». Se trata de una función de valores complejos sin interpretación física inmediata. El cuadrado de su amplitud sí tiene un significado directo: indica la densidad de probabilidad para la posición de la partícula. Lo anterior, implica que el estado de una partícula no viene caracterizado por ciertos numerales (los valores de las coordenadas y momentos o momentums), sino que por una función de onda ψ(t, r), lo que implica que la teoría no predice la posición exacta de la partícula a partir de la posición y la velocidad inicial, como la mecánica clásica, sino tan solo probabilidades para la posición. Por consiguiente, para poder dar un estado en mecánica cuántica se requiere mucha más información, dado que en cuántica, los estados se caracterizan por funciones. La mecánica cuántica se basa en que la función de onda determina por completo el estado de una partícula, lo que significa que no es necesario añadir ninguna otra información para saber todo lo que es posible de una partícula considerada.
Por lo visto, la función de onda no implica que una propia partícula sea exactamente un aglomerado o paquete de ondas o una perturbación localizada como estudiamos anteriormente, sino que ésta tiene que ver con la probabilidad de la posición de una partícula en cualquier punto del espacio. Esta interpretación probabilística de la función de onda fue formulada y propuesta por M. Born, N. Bohr y W. Heisenberg entre los años de 1926 y 1930 y es uno de los fundamentos de la mecánica cuántica y, es similar, a la transformación de Fourier de la función de onda para la velocidad. Su enunciado predice que la función de onda de una partícula ψ(t, r) representa la probabilidad de encontrar la partícula dϱ(t, r) en el elemento de volumen d³r en torno al punto r del espacio en el instante t mediante su modulo al cuadrado dϱ(t, r) = ⃒ψ(t, r)⃒²d³r. Ahora, para que esta interpretación se cumpla es necesario que:
∫ dϱ(t, r) = ∫ d³r⃒ψ(t, r)⃒² = 1,
estando la integral extendida por todo el espacio. Partiendo de [06.02.02.01], la función de onda debe ser integrable y, especialmente, debe de disminuir suficientemente rápido a grandes distancias cuando r → ∞. También podemos distinguir que al multiplicar la función de onda por un número complejo de módulo de unidad, lo que implica que así se cambia sólo su fase, ello no influye en la probabilidad y, por consiguiente, no cambia su significado físico.Por su parte, toda función de onda ψ(t, r) de una partícula libre puede también ser representada como un conglomerado de ondas planas [06.02.01.12], la cual se reescribe como sigue: [06.02.02.02]
ψ(t, r) = ∫ d³k(2π)⁻³/²ϕ(t, k) exp ikr,
donde ϕ(t, k) = ϕ(k) exp( – iωt). En que la relación [06.023.02.03] corresponde nada más que a la transformación de Fourier. De sus propias propiedades se sigue que ϕ se expresa a través de ψ por una ecuación similar a la [06.023.02.02], expresada como sigue: [06.02.02.04]
ϕ(t, k) = ∫ d³r(2π)⁻³/²ψ(t, r) exp( – ikr), y está normalizada a la unidad (véase la transformación de Fourier) como sigue: ∫ d³k│ϕ(t, k)│² = 1. Lo anterior, nos da la posibilidad de poder interpretar ⃒ϕ(t, k)⃒²d³k como la probabilidad de hallar la partícula en el instante t con un momentum dado p = ℏk en el elemento de volumen del espacio de vectores de onda (o de momentums) d³k. Esta interpretación resulta natural, debido a que las ondas planas en la superposición [06.02.02.02] corresponden a partículas con un momentum dado. Como se distingue, se da una simetría completa entre ψ(t, r) y ϕ(t, k), en que cada una de estas dos funciones corresponde a la función de onda de una partícula: ψ(t, r) en el espacio ordinario y ϕ(t, k) en el espacio del momentum. Lo importante en esto, a diferencia de la mecánica clásica, es que las funciones ψ y ϕ no son independientes, ya que están relacionadas por la transformación de Fourier, de forma que la distribución de velocidades está vinculada a la de coordenadas. Ahora, es posible fijar una sola de las dos funciones de onda ψ o ϕ, pero no ambas a la vez. Esta limitante para poder describir una partícula ya sea sólo en el espacio de coordenadas o sólo en el espacio del momentum se conoce como el principio de complementariedad. Centremos nuestra atención ahora que en la expresión [06.02.02.04] para ϕ(t, k) mediante ψ(t, r), ya que en ella dentro de la integral figura la función (2π)⁻³/² exp ( – ikr), la cual es considerada como una función de onda, que corresponde a la de la onda conjugada de una partícula con vector de onda k como podemos ver a continuación: (2π)⁻³/² exp ( – ikr) = (2π)⁻³/² (exp ikr)* Lo descrito nos conduce a otra de las ideas básicas de la mecánica cuántica. En efecto, pensemos que existen dos funciones de onda ψ₁(t, r) y ψ₂(t, r) en el espacio ordinario. Entonces el módulo cuadrado del integral es: ∫ d³rψ* (t, r) ψ₁(t, r), el cual proporciona la probabilidad de hallar la partícula en el estado con la función con la función de onda ψ₂(t, r) con la función de onda ψ₁(t, r) . Ahora, usando la identidad o igualdad de Parseval[06.02.02.07] ∫ d³rψ
en la cual podemos distinguir que esta probabilidad también es obtenible siguiendo la misma forma con funciones de onda en el espacio de momentums. Se trata de una característica muy importante de la física cuántica dado el hecho que una partícula que se encuentra en un estado (con función de onda ψ₁) puede a su vez estar con cierta probabilidad en otro estado (función de onda ψ₂). Lo anterior se debe a que, descrito en términos simples, hay más funciones de onda diferentes que estados independientes. En consecuencia, la función de onda, que ha de contener todas las probabilidades del sistema, será una combinación de ψ₁ y ψ₂. Por consiguiente, la probabilidad de presencia de la partícula en un punto cualquiera entonces vendrá dada no sólo por la suma de sus módulos al cuadrado según lo expresado en el segundo párrafo, sino también por la integral de solapamiento [06.02.02.06], la cual se anula sólo para los pares de estados independientes distintos. En el fondo, se trata de una contribución adicional a la probabilidad neta, análoga a un término de interferencia, la cual muestra que la información probabilística contenida en las funciones de onda corresponde en realidad a «amplitudes de probabilidad», a diferencia de las partículas clásicas. Para poder llegar a entender mejor lo que hemos expresado sobre esto, a continuación vamos a describir un ejemplo bastante didáctico. (t, r)ψ₁(t, r) = ∫ d³kϕ(t, k)ϕ₁(t, k),
[06.02.02.08] A(t, r) = α exp (ik₁r₁ – iωt) + α exp (ik₂r₂ – iωt).
[06.02.02.09] δ = k(r₁ – r₂).
[06.02.02.10] ℰ = ω²│α²│(2 + 2 cos δ).
[06.02.02.11] r₁ – r₂ = dx / L,
[06.02.02.12] kdɩ / L = 2π.
Descrito el ejemplo en que nos habíamos comprometido, nos corresponde señalar que, tras repetir ese experimento imaginario reiteradas veces, el histograma de registros correspondiente al módulo al cuadrado de la función de onda total tendería a la típica figura de la difracción, con el máximo principal y los respectivos secundarios. Ahora, pasemos a analizar lo que ocurre cuando se intentan medir los valores de las coordenadas de posición o momentum de una partícula en la mecánica cuántica. Como muestra el experimento, cada medición proporciona por sí misma un valor aleatorio con probabilidad dada a priori por los módulos al cuadrado de las funciones de onda en los espacios ordinario o de momentums, como ya se ha mencionado. Al repetir las mediciones se obtienen los valores medios de la coordenada o del momentum. Son estos valores medios los que presentan cierta regularidad y, por lo tanto, vienen a ser los que constituyen el objeto del estudio y descripción de la mecánica cuántica. Al pasar al dominio de la física clásica, pasan a ser los observables ordinarios de ésta. Conociendo las probabilidades de encontrar una partícula en cualquier punto del espacio ordinario o de momentums a través de las funciones de onda respectivas, se pueden calcular estos promedios (o valores esperados):[06.02.02.13] < r > = ∫ d³rr│ψ(t, r)│²,.... < p > = ∫ d³kℏk│ϕ(t, k)│².
De la misma manera, es posible poder encontrar los valores esperados de una función cualquiera de las coordenadas o de los momentums por separado: [06.02.02.14]
Aquí se nos presenta inmediatamente un problema: ¿Cómo se puede obtener el valor medio de una magnitud física que dependa de r y p a la vez (rp o r × p, por ejemplo)? Según la prescripción anterior, hace falta saber determinar el valor medio del momentum (o una función del momentum) a través de la función de onda ψ(t, r) en el espacio de coordenadas, o viceversa. Es claro que se puede porque, después de todo, la función de onda en el espacio de momentums ϕ(t, k) no es más que la transformación de Fourier de ψ(t, r). Utilizando la identidad de Parseval [06.02.02.07] obtenemos de [06.02.02.13]:< f(r) > = ∫ d³rf(r)│ψ(t, r)│²,.... < g(p) > = ∫ d³kg(ħk)│ϕ(t, k)│². < p > = ∫ d³rψ*(t, r)ψ₁(t, r),
donde la ψ₁(t, r) es la función cuya amplitud de Fourier viene dada por ℏkϕ(t, k). Por consiguiente,
ψ₁(t, r) = ∫ d³k(2π)⁻³/²ℏkϕ(t, k) exp ikr = – iℏ∇ψ(t, r).
En lo expresado, podemos apreciar que la multiplicación de ϕ(t, k) por ℏk o por alguna de sus funciones, corresponde a la participación del operador gradiente – iℏ∇ o también una función de éste sobre la función de onda ψ(t, r). Ello, nos da como resultado que [06.02.02.15] < g(p) > = ∫ d³rψ*(t, r)g( – iℏ∇)ψ(t, r).
Así, distinguimos que el momentum se manifiesta en el espacio de coordenadas como un operador que actúa sobre la función de onda. Lo último, corresponde a una afirmación general porque en el espacio de momentums la multiplicación de ϕ(t, k) por el argumento ℏk en [06.02.02.13] también se puede considerar como la aplicación de un operador de multiplicación por el argumento. En definitiva, en las expresiones para el valor medio en la mecánica cuántica de una partícula el momentum se representa como el operador de gradiente p = – iℏ∇ en el espacio de coordenadas y de la multiplicación por el argumento p = ℏk en el espacio de momentums. Análogamente, la coordenada se representa como el operador de multiplicación r por el argumento en el espacio de coordenadas y del gradiente en el espacio de momentums: r = i∇κ, lo que significa que
[06.02.02.16] < f(r) > = ∫ d³kϕ*(t, k)f(i∇ҝ)ϕ(t, k).
En principio, pareciese que en las expresiones del valor medio [06.02.02.15] y [06.02.02.16] las funciones de onda ordinaria y conjugada jugasen u rol distinto, ya que el operador se aplica a la función sin conjugar; no obstante, enseguida es posible percatarse que ello no es así. Integrando por partes se obtiene ∫ d³rψ*∇ψ(t, r) = ∫ d³ r∇[ψ*(t, r)ψ(t, r)] – ∫ d³r[∇ψ(t, r)]*ψ(t, r), y teniendo en cuenta que las funciones de onda se anulan en el infinito, desaparece el término de superficie primero. Con esto podemos trasladar la actuación del operador gradiente – iℏ∇ en cualquiera de los valores esperados sobre la función conjugada. Así, por ejemplo, en vez de [06.02.02.15] podemos usar[06.02.02.17] <g(p)> = ∫ d³r[g( ‒ iℏ∇ )ψ(t, r)]*ψ(t, r), Por lo que hemos venido estudiando, todas las magnitudes físicas de una partícula son funciones de r y p, y, según lo descrito, estarán representadas por sus operadores correspondientes. Llegamos así a un principio fundamental: en la mecánica cuántica todas las magnitudes físicas, llamadas observables, se representan por operadores autoadjuntos y sus valores medios A(r, p) vienen dados por: [06.02.02.18] <A(r, p)> = ∫ d³rψ* Aψ = ∫ d³kϕ*Aϕ,
donde A es un operador cuya acción sobre ψ o ϕ se determina en cada caso según se elija la representación de coordenadas o de momentums. Por su parte, los operadores y los valores esperados como [06.02.02.18] constituyen la parte central del formalismo de la mecánica cuántica. Dada esa condición, merecen una discusión más detallada desde un punto de vista matemático. Por ello, intentaremos a continuación realizar un resumen conciso sobre sus características medulares, pero manteniendo el texto autocontenido y fijando su notación.Un operador general A es una regla de transformación de una función f de cierta clase en otra g, que es el resultado de aplicar A sobre f. Para simplificar nos limitaremos aquí a funciones de un solo argumento x, siendo inmediata la generalización a cualquier número de argumentos. En consecuencia, un operador A vendrá a ser como una regla para construir a partir de f(x) una nueva función [06.02.02.19] g(x) = Af(x).
Para ello, es importante que el operador esté definido para todo un conjunto de funciones f, las cuales hacen de argumentos en la aplicación. A continuación, presentaremos algunos ejemplos de operadores: g(x) = f'(x); g(x) = x²f(x); g(x) = f(x₀); g(x) = f(cx); g(x) = f*(x), g(x) = f²(x).
Por su parte, la mecánica cuántica utiliza casi exclusivamente operadores lineales, que obedecen la relación [06.02.02.20] A(c₁f₁ + c₂f₂) = c₁(Af₁) + c₂(Af₂),
en que c₁,₂ son números complejos cualesquiera. En los ejemplos de arriba todos los operadores, salvo los dos últimos, son lineales. Los operadores se pueden sumar y multiplicar por números complejos formando así combinaciones lineales con la definición natural: [06.02.02.21] c₁A₁ + c₂A₂)f = c₁(A₁f) + c₂(A₂f).
Es importante considerar que el producto de operadores merece una atención especial. Se entiende como el resultado de la aplicación consecutiva de los operadores factores. Si g = A₁f y ℎ = A₂g, entonces, por definición, ℎ = A₂A₁f, o sea, [06.02.02.22] A₂A₁f = A₂(A₁f).
Si bien lo habitual que se conoce es que el orden de los factores no altera el producto, en esto ello no es así, ya que el producto de operadores depende del orden de sus factores, ello debido que al aplicar los operadores en un orden distinto se produce en general un resultado diferente. Sea, por ejemplo, A₁f(x) = xf(x) A₁f(x) = f'(x). Entonces [06.02.02.23] A₂A₁f(x) = [xf(x)]' = xf'(x) + f(x),.... A₁A₂f(x) = xf'(x).
Como vemos, los dos órdenes distintos llevan a funciones diferentes. Se dice que los dos operadores no conmutan o bien que el operador de la diferencia, llamado conmutador, [A₁, A₂] = A₁A₁ – A₂A₁,
por consiguiente, es diferente de cero. El resultado anterior [06.02.02.22] se escribiría en esta notación como [x, d / dx] = ‒ 1.
En consecuencia, el conmutador muestra, en cierta medida, cuánto se diferencias de los números ordinarios los operadores en cuestión, pues para aquellos naturalmente el conmutador se anula. Hay otro caso trivial pero importante en el que el conmutador también es igual a cero: es evidente que cualquier operador conmuta consigo mismo. Esto permite formar potencias de operadores como si fueran números: A²f = A(Af),.... A³f = A(A²f), etc., y sumando potencias en series, definir funciones de operadores, como, por ejemplo: exp A =
 An / n!Como lo hemos estado estudiado, en la determinación de valores medios y probabilidades las funciones de onda ψ y ϕ intervienen de manera idéntica en los espacios ordinarios y de momentums. Cualquiera de ellas puede ser usada indistintamente. Por tanto, es conveniente introducir conceptos y notaciones que eviten indicar en qué espacio se toma la función de onda y valgan para cualquiera de ellas. Esto es muy importante porque en realidad pueden existir otros tipos de función de onda además de las ya consideradas y necesitamos poder trabajar con todas ellas. Las ideas en esta dirección se toman del análisis vectorial. De hecho, una función de onda ψ(t, r) puede considerarse como el conjunto de las componentes de un vector de onda ψ(t) enumeradas por un índice que varía continuamente: r. Es la generalización directa de un vector ordinario a con tres componentes αi, i = x, y, z. . Lo notable es que la función de onda ϕ(t, k) en el espacio de momentums puede considerarse como el mismo vector ψ(t), si bien en otro sistema de coordenadas y consecuentemente con otras componentes, igual que el vector tridimensional a en otro sistema de coordenadas se caracterizaría por otras componentes αi’. Es bien sabido que, para los vectores ordinarios, las nuevas componentes están relacionadas con las antiguas por una transformación lineal como la que expresamos a continuación: [06.02.02.25] αi' =  cikαk,....i, k = 1, 2, 3.Por su parte, los coeficientes cik se determinan por la posición relativa de los dos sistemas de coordenadas. Asimismo las componentes ϕ(t, k) y ψ(t, r) del vector de onda ψ(t) estarán relacionadas por la transformación lineal de Fourier, que es la generalización natural de [06.02.02.25] para vectores con un número de componentes infinito y continuo. La analogía con los vectores ordinarios va mucho más lejos. Las integrales del tipo [06.02.02.06] o [06.02.02.07] constituyen una generalización directa del producto escalar de dos vectores: la suma de los productos de todas las componentes. La única diferencia es que necesitamos tomar módulos por ser complejo el vector de onda. Definamos así el producto escalar de dos vectores de onda ψ₁ y ψ₂ como sigue, omitiendo la dependencia en t que, por ahora, no tiene importancia: <ψ₂│ψ₁> = ∫ d³rψ₂*(r)ψ₁(r) = ∫ d³kϕ₂*(k)ϕ₁(k).
Como se ve, aquí no hay necesidad de precisar en qué espacio se toman las funciones de onda, ya que la notación vectorial es válida para un espacio cualquiera. Conviene fijarse, eso sí, en que el vector de la izquierda es el que se conjuga, de forma que el producto no sea lineal a ese lado. La condición de normalización [06.02.02.01] o [06.02.02.05] se convierte en la exigencia de que el vector de onda tenga la norma unidad <ψ│ψ> = 1.
Recordemos que para ψ₁ y ψ₂ distintos el producto escalar [06.02.02.06] tiene un significado físico importante. Su módulo al cuadrado da la probabilidad de que la partícula con el vector de onda ψ₁ esté a la vez en el estado con el vector de onda ψ₂. Ahora, si se trata de estados independientes, entonces: <ψ₂│ψ₁> = 0,
lo cual geométricamente corresponde a vectores ortogonales. Ahora, considerando a los observables, identificamos que desde ese punto de vista el valor medio de una magnitud física A(r, p) se representa como el producto escalar[06.02.02.28] <A> = <ψ│Aψ>,
donde también no es necesario señalar en qué espacio se toma la función de onda, ni cómo actúan los operadores r y p. Se establece automáticamente al escoger las componentes concretas del vector ψ, lo cual es como seleccionar el sistema de coordenadas en el caso de vectores ordinarios. Si se selecciona de la forma ψ(r), entonces r es el operador de multiplicación y p del gradiente, y si, en cambio, se toman como ϕ(k) entonces r es el gradiente y p el de multiplicación.
La notación vectorial introducida resulta muy cómoda también para formular y demostrar propiedades generales de funciones de onda y operadores correspondientes a los observables en la mecánica cuántica. En particular permite introducir el concepto del operador hermítico conjugado (o simplemente conjugado) de una manera muy sencilla. Si para un operador dado A existe otro operador A† que satisface [06.02.02.29] <ψ₂│Aψ₁> = <A†ψ₂│ψ₁>,
para todo ψ₁ y ψ₂ de la clase escogida entonces A† se llama el operador conjugado de A. Su acción sobre el vector ψ₂ (conjugado) es equivalente a la de A sobre ψ₁ (no conjugado). Precisemos que [06.02.02.28] debe ser válido para todo vector de onda admisible y no para sólo algunos de ellos. Los operadores hermíticos o autoadjuntos son los que coinciden con sus conjugados. Satisfacen [06.02.02.30] A† = A, o sea <ψ₂│Aψ₁> = <Aψ₂│ψ₁>.
No deja dudas que sus valores medios son reales <ψ│Aψ> = <Aψ│ψ> = <ψ│Aψ>*
Por su parte, es evidente que el operador momentum –iℏ∇ es hermético, o sea, <ψ₂│–iℏ∇ψ₁> = <–iℏ∇ψ₂│ψ₁>,
ello, es debido al doble cambio de signo que ya vimos (por eso lleva la i). Por último, señalemos que a menudo el producto escalar [06.02.02.28] es escrito de una manera más simétrica derivada de las notaciones de Paul Dirac<ψ₂│Aψ₁> ≡ <ψ₂│ψ₁>.
Aquí, se precisa el papel equivalente de los vectores ψ₁ y ψ₂ que estudiamos arriba. Claro está, que la notación de Dirac comporta otras muchas ventajas, aunque aquí no las utilizaremos. Sí, creemos didáctico señalar que en esta notación se suele denominar como bra a ψ₂ (izquierda) y ket al vector derecho ψ₁, en alusión al nombre en inglés del paréntesis que indica el producto.
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