Mencionamos anteriormente que Werner Heisenberg, después de haber inventado la mecánica matricial en 1925, dio un paso sustancial hacia la nueva teoría cuántica al elaborar, junto con con Max Born y Pascual Jordan, una formulación completa de ésta, una nueva dinámica que servía para calcular las propiedades de las partículas, igual que había servido la mecánica de Newton para calcular las órbitas de los planetas. Aunque la mecánica cuántica (como se la denominaría más tarde) concordaba magníficamente con el experimento, a sus creadores les resultaba difícil interpretarla como imagen de la realidad. El problema radicaba en que las convenciones visuales de nuestra experiencia ordinaria no pueden aplicarse al micromundo de la materia, ya que desde que De Broglie descubriese la naturaleza ondulatoria de las partículas, ello llevaba asociado un fenómeno nuevo, que en el mundo clásico del sentido común, resultaba sorprendente y, en principio, antiintuitivo. Por consiguiente, ese micromundo requería intentar entenderlo de otro modo.
Para concebir el mundo cuántico Heisenberg y Niels Bohr se esforzaron por hallar una estructura nueva que estuviera de acuerdo con la nueva mecánica cuántica. Heisenberg descubrió, cuando intentaba resolver estos problemas interpretativos, el «principio de incertidumbre», principio que revelaba una característica distintiva de la mecánica cuántica que no existía en la mecánica newtoniana.
Según el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables físicas, como la posición y el momentum (masa por velocidad) de una partícula, no pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiera. Así, si repetimos el cálculo de la posición y el momentum de una partícula cuántica determinada (por ejemplo, un electrón), nos encontramos con que dichos cálculos fluctúan en torno a valores medíos. Estas fluctuaciones reflejan, pues, nuestra incertidumbre en la determinación de la posición y el momentum. Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la mecánica newtoniana, las incertidumbres podrían reducirse a cero y la posición y el momentum del electrón podrían determinarse con toda precisión. Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la newtoniana, sólo nos permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es intrínsecamente estadística.
En síntesis, se puede describir que el principio de incertidumbre postula que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, los valores de dos variables canónicas conjugadas (posición-impulso, energía-tiempo, …, etc.) de forma que una medición precisa de una de ellas implica una total indeterminación en el valor de la otra. Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente forma:
Δx Δy ≥ ℎ / 2π,
donde Δx, incertidumbre en la medida de la posición; Δp, incertidumbre en la medida del impulso; para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene ΔE Δt ≥ ℎ / 2π ; en ambas relaciones el límite de precisión posible viene dado por la constante de Planck, ℏ.
Una de las maneras de poder llegar a comprender el principio de incertidumbre es considerando que se trata de un proceso de observación experimental. Un sistema se observa a través de uno de medida. Este sistema, para poder entregar algún tipo de medición necesita interaccionar con el sistema de observación; es decir, requiere intercambiar una energía y, ese cambio de energía o de estado del medidor, se relaciona con alguna propiedad del sistema objeto del estudio. Sin embargo, éste, al igual que el medidor experimenta un cambio de estado; o sea, el sistema observado cambia igualmente de estado; por lo cual, al hacer otro tipo de medida sobre el sistema en cuestión, éste ya no se halla en el mismo estado y, esta segunda medida, no es independiente, sino que depende de la primera.
Hasta que Heisenberg formulara su principio de incertidumbre, el determinismo era incuestionable, ya que propugnaba que una vez conocidas las condiciones iniciales, era posible determinar con total exactitud la evolución de un sistema. Sin embargo, con el descubrimiento de Heisemberg se demostraba que era imposible conocer con absoluta precisión las condiciones iniciales de un sistema y, por consiguiente, no es posible determinar su evolución.
En los inicios de la física cuántica, el intentar calcular la trayectoria de un electrón en un átomo carecía de sentido, ya que no existían medios para observarlo experimentalmente. Incluso, en esa época, cuando De Broglie afirma que el electrón es una onda, las dudas sobre la posibilidad de hacerlo embarga el pensamiento de la mayoría de los físicos. Pero Heisenberg elimina totalmente esta posibilidad, ya que considera que no era imaginable un experimento capaz de medir la posición y velocidad de un electrón con la precisión que se requiere en un estudio experimental. ΔxΔp ≈ ℎ
El principio de incertidumbre es algo que se halla inserto en la propia naturaleza. Pero al igual como sucede en el mundo clásico con respecto a que no es posible observar los movimientos ondulatorios de las partículas, a esas escalas el principio tampoco se manifiesta. Si tomamos por ejemplo un electrón y, medimos su posición con una indeterminación de un Å (angstrom), entonces la indeterminación en la velocidad estará dada por:
[06.02.03.01]
es decir, si se midiera la velocidad del electrón y estuviera alrededor del 5% de la de la luz (para soslayar efectos relativistas), entonces la indeterminación representa un 46% de la medida. Ahora, si la velocidad medida fuera bastante menor, este porcentaje sería sustancialmente mayor. Por su parte, si la medición diera una medida con un valor por debajo de la propia indeterminación… ello sería igual a no tener idea acerca de su velocidad.Ahora bien, si consideramos esa misma indeterminación de un angstrom en la posición de la Tierra (ℳ⊕ ~10⁻²⁴ kg) con respecto a su órbita alrededor del Sol, da una indeterminación en su velocidad de 6 • 10⁻⁴⁸ m/s. Sabemos que la velocidad de traslación de la Tierra es de 30.000 m/s, por consiguiente una indeterminación del orden de 10⁻⁴⁸ m/s es despreciable, ya que representa alrededor de un 10⁻⁵¹% de la medida; por lo tanto, se puede decir que tanto la posición como la velocidad de la Tierra se halla perfectamente determinada.
|
Heisenberg ejemplificaba su hallazgo del principio de incertidumbre que hemos sintetizado arriba, analizando la capacidad de resolución de un microscopio. Imaginemos que miramos una pequeña partícula al microscopio. La luz choca con la partícula y se dispersa en el sistema óptico del microscopio. La capacidad de resolución del microscopio (las distancias más pequeñas que puede distinguir) se halla limitada, para un sistema óptico concreto, por la longitud de onda de la luz que se utilice. Evidentemente, no podemos ver una partícula y determinar su posición a una distancia más pequeña que esta longitud de onda; la luz de longitud de onda mayor, simplemente se curva alrededor de la partícula y no se dispersa de un modo significativo. Por tanto, para establecer la posición de la partícula con mucha precisión hemos de utilizar una luz que tenga una longitud de onda extremadamente corta, más corta al menos que el tamaño de la partícula.
Pero, como advirtió Heisenberg, la luz también puede concebirse como una corriente de partículas (cuantos de luz denominados fotones) y el momentum de un fotón es inversamente proporcional a su longitud de onda. Así, cuanto más pequeña sea la longitud de onda de la luz, mayor será el momentum de sus fotones. Si un fotón de pequeña longitud de onda y momentum elevado golpea la partícula emplazada en el microscopio, transmite parte de su momentum a dicha partícula; esto la hace moverse, creando una incertidumbre en nuestro conocimiento de su momentum. Cuanto más pequeña sea la longitud de onda de la luz, mejor conoceremos la posición de la partícula, pero menos certidumbre tendremos de su momentum final. Por otra parte, si sacrificamos nuestro conocimiento de la posición de la partícula y utilizamos luz de mayor longitud de onda, podemos determinar con mayor certidumbre su momentum. Pero si la mecánica cuántica es correcta, no podemos determinar al mismo tiempo con precisión absoluta la posición de la partícula y su momentum.
El modelo del principio de incertidumbre de Heisenberg utiliza una característica del mundo cuántico que es absolutamente general: para «ver» el mundo cuántico atómico, hemos de dispersar otras partículas cuánticas de los objetos que queremos observar. Lógicamente, para explorar el microcosmos de las partículas cuánticas necesitamos pequeñas sondas, y las más pequeñas son las propias partículas cuánticas. Los físicos exploran el micromundo observando choques de partículas cuánticas. Cuanto más elevados son el momentum y la energía de las partículas que colisionan, menor es la longitud de onda y menores son las distancias que pueden resolver. Por esta razón, los físicos que pretenden estudiar distancias cada vez más pequeñas, necesitan máquinas que aceleren las partículas cuánticas con energías cada vez más elevadas y luego las hagan chocar con otras partículas que constituyen el objetivo.
Pero estudiemos cómo podemos aplicar la teórica ejemplarización desarrollada por Heisemberg para explicar su principio de incertidumbre.
Pensemos que queremos ver un electrón a través de un microscopio de rayos gamma. Para ello, partamos considerando que esa radiación tiene una longitud de onda del orden de 10⁻¹² metros. En un microscopio de esa naturaleza, el detector de rayos γ tiene un tamaño determinado, el cual cubre un ángulo de visión de 2α. Un sistema así, tiene una resolución que determina el tamaño o distancia mínima que se puede distinguir, pero además, está relacionado con la longitud de onda y el ángulo de detección:[06.02.03.02] Δx = λ / 2 sin α.
Se trata de una resolución que determina la indeterminación en la posición. Por su parte, si colocamos un electrón en una posición estipulada, la radiación no lo distinguirá de otro que se de Δx.
 |
Desde una onda de partícula, al mismo tiempo existe una gama de lugares. Este rango se llama la incertidumbre de la posición de la partícula. En la imagen de la izquierda, el triángulo en frente de la "x" es la letra Griega delta. Si "x" representa la posición partícula, entonces, "delta x" representa el abanico de posibles lugares para la partícula, o la incertidumbre de "x". |
Ahora, cuando el fotón de rayos γ choca con el electrón, le transmite un momentum cinético Pₑ, como sucede con el efecto Compton. Por su parte, el rayo γ sale rebotando hacia el detector, pudiendo caer entre dos casos límite, los cuales identificamos en la figura que insertamos abajo como P₁ y P₂.
Los dos fotones otorgan la misma señal en el detector, aunque ellas corresponden a un intercambio del momentum cinético con el electrón distinto. En ambos casos, el momentum cinético total en que en el eje x (electrón más fotón) es igual al momentum del fotón p previo al choque: [06.02.03.03]  (En el caso dos, el signo menos se debe a que el fotón retrocede en el eje x. Aunque en ambos casos el momentum del electrón pₑ es diferente; sin embargo, el electrón no es capaz de distinguirlos. Esa diferencia, corresponde a la indeterminación del momentum cinético: [06.02.03.04]  . En la medida que el ángulo de visión del detector es menor, también lo es la diferencia entre las longitudes de onda que le llegan. En consecuencia, en un caso muy cercano al ideal podemos presumir que ambas longitudes de onda son aproximadamente iguales.
Por su parte, en la última expresión se observa que la imprecisión en el momentum cinético es aproximadamente igual a la constante de Planck, multiplicada por un valor que corresponde a la inversa de la resolución del sistema, Δx, por lo tanto:
[06.02.03.04]  . Con ese experimento obtendríamos tan sólo la conclusión de que la indeterminación del momentum se va haciendo cada vez mayor hasta que llega a ser infinita; por consiguiente, en esas condiciones se hace imposible poder determinar el momentum cinético. En consecuencia, cuanto menor es la longitud de onda del fotón, mayor es su momentum cinético y, también, mayor es la cantidad que le puede trasmitir el electrón tras el choque.
Finalmente, presumamos que procedemos a disminuir el tamaño del detector de una manera significativa. Ello, nos llevaría a suponer que el ángulo de detección podría llegar a ser cero, lo que acarrearía, como consecuencia, que la indeterminación del momentum cinético podría ser cero; por consiguiente, habríamos determinado con precisión el momentum cinético, Δp = 0. Sin embargo, la resolución espacial, la indeterminación de la posición Δx se dispararía a infinito, con lo cual se nos haría imposible poder determinar la posición del electrón.
|
|
«