06.02.04
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 Pasemos a estudiar ahora la precisión con que se puede determinar una magnitud física cualquiera A (r, p). Si procedemos a medirla varias veces se obtiene un conjunto de valores para A, cuyo promedio viene dado por las formulas que introducimos en la sección 06.02.02. Los valores que procedamos a medir fluctuarán alrededor del valor medio y, la magnitud de estas fluctuaciones, será la que determine la precisión de nuestros conocimientos de A. Por lo tanto, mientras menores sean éstas, tanto mayor será la precisión del observable A. En tanto, para medir esas fluctuaciones se puede introducir en la teoría de probabilidad la dispersión de A, la cual es definida por la relación que sigue:
[06.02.04.01] (ΔA)² = <(A – <(A)²> = <A²> – <A>².
Donde la segunda igualdad se debe a que el valor medio de la cantidad de la cifra <A> es la misma. Por consiguiente, no es difícil llegar al convencimiento de que la dispersión es una medición de las fluctuaciones. Consideremos el caso sencillo de que A depende sólo de r. Entonces tenemos:
(ΔA)² = ∫ d³r│ψ(t, r)│²(A(r) – <A>)².
Corresponde a una integral con una función positiva cuya magnitud es determinada por la desviación de A(r) de su valor medio. Queda claro, eso sí, que ΔA es tanto mayor cuanto mayores desviaciones admite la distribución ǀψ(t, r)ǀ².
Aquí, se nos viene un problema de gran importancia, dado que existen casos en los que la dispersión de ΔA es igual a cero. Presentada esa situación, es evidente que la magnitud física A tomaría un valor determinado sin fluctuación alguna. Por lo tanto, es claro que salte la pregunta ¿Qué implicaría una situación de esa naturaleza para el estado de la partícula, es decir para su vector de onda? Supongamos que el valor medio de un observable A sea α (o sea <A> = α). Pues bien, si la dispersión ΔA = 0, entonces debe cumplirse [06.02.04.02] <ψ│ψ> = 1, <ψ│Aψ> = α, <Aψ│Aψ> = α².
La última relación se sigue de utilizar la segunda forma de la dispersión en [06.02.04.01]. Introduzcamos ψ₁ = (1 / α)Aψ. Entonces las relaciones [06.02.04.02] conducen a [06.02.04.03] <ψ│ψ> = <ψ│ψ₁> = <ψ₁│ψ₁> = 1.
De aquí se sigue [06.02.04.04] <ψ – ψ₁│ψ – ψ₁> = 0, lo que significa que ψ = ψ₁ (un vector con norma cero es nulo según [06.02.02.26]. Por lo tanto, llegamos a la conclusión que, para que la dispersión de A sea nula, la función de onda no puede ser cualquiera, sino que ha de satisfacer [06.02.04.05] Aψα = αψα,
donde marcamos la función de onda con α el valor de A se da exactamente. Por su parte, las funciones que satisfacen la relación [06.02.04.05] se llaman autofunciones o funciones propias del operador A. El valor α correspondiente se llama autovalor o valor propio. Para los autoestados del operador A los valores esperados de la magnitud física correspondiente vienen dados exactamente por sus autovalores respectivos. Y vice-versa, si sabemos por un experimento que la magnitud física A tiene un valor a dado, entonces la función de onda es la propia de A correspondiente al autovalor α. Llegamos así a una caracterización matemática del proceso de medida: Cuando en un experimento se mide una magnitud característica de una partícula, como resultado del mismo la partícula queda en el estado propio a esta magnitud correspondiente al autovalor medido.El significado matemático es de proyección al estado propio medido. Para entenderlo podemos utilizar otra vez el experimento de la doble rendija asignando dos autovalores, digamos α y b, a los pasos por cada rendija. Si registramos mediante algún dispositivo el paso de cada electrón por cada rendija, habremos medido los autovalores a y b y el estado del electrón se habrá proyectado al autoestado correspondiente ψα y ψb. Si detectamos en esas condiciones Ios electrones, poniendo Ios detectores en el plano de llegada en coincidencia con el dispositivo que registre el paso por las rendijas, tendremos los histogramas correspondientes a cada módulo al cuadrado por separado, sin la contribución de solapamiento <ψb│ψα>. Los electrones «marcados» por la detección de su paso por las rendijas α o b llegan al plano posterior con su función de onda proyectada ya a ψα o ψb . Evidentemente, está es independiente de que efectuemos o no la segunda detección en dicho plano posterior, que no haría sino registrar los dos histogramas correspondientes a │ψb│² por separado. Vemos inmediatamente una consecuencia de gran importancia. El conjunto de todos los valores que pueden tomar en un experimento las magnitudes físicas A coincide con el conjunto de todos los autovalores del operador A correspondiente. Este conjunto se llama espectro del operador A. El tipo del espectro depende de las propiedades del operador escogido. En muchos casos presenta un intervalo continuo de números de ‒ ∞ hasta + ∞. Entonces la medición puede dar cualquier número, así como ocurre en la física clásica. Pero hay operadores cuyo espectro no es continuo, sino que sólo presenta un conjunto discreto de valores (finito o infinito). Entonces la medición de tal magnitud física sólo puede dar números que pertenezcan a este conjunto. En este caso clave las conclusiones de la física cuántica se desvían esencialmente de la física clásica, pues es aquí donde se manifiesta el fenómeno de cuantización, tan inesperado desde el punto de vista clásico. En lo que sigue consideraremos diversas magnitudes físicas y analizaremos sus espectros, lo que nos ilustrará cómo se realiza la cuantización en los casos concretos. El sentido común nos dice que si sabemos que una partícula tiene un valor de A exacto e igual a α (es decir, su vector de onda satisface [06.02.04.05]) entonces es seguro que no tiene otro valor α' de esta misma magnitud y por lo tanto no puede estar a la vez en el estado ψα’ con α ≠ α'. En otras palabras, los autoestados ψα y ψb con α ≠ α' deben ser independientes, o sea, ortogonales. Es fácil comprobar que así es en efecto. Supongamos que se cumple [06.02.04.06] Aψα = αψα, y Aψα' = α'ψ
Entonces, utilizando la hermetecidad de A tenemos <ψα'│Aψα> = α<ψα'│ψα> = <Aψα'│ψα> = α'<ψα'│ψα>.
De donde concluimos [06.02.04.07] <ψα'│ψα> = 0, α ≠ α': que las autofunciones de un operador hermético para autovalores deferentes son ortogonales y, por lo tanto, independientes en el sentido físico. Para concluir con esta parte de la sección, recordemos que anteriormente ya utilizamos más de una vez estados con ciertos valores físicos exactamente determinados. Una onda plana corresponde a un momentum fijo de la partícula. Y efectivamente es una autofunción del operador de momentum. Por lo tanto, si ψк (t, r) = exp(ikr – i ω t), entonces[06.02.04.08] pψк(t, r) = – iℏ∇ exp(ikr – iωt) = ℏkψк(t, r).
Como lo hemos estudiado, la medición de una magnitud física A de una partícula la deja en el estado ψα, que es propio de A con un autovalor α de A. Sin embargo, en la mayoría de los casos una única medición no determinará completamente el estado de la partícula. En efecto, por ejemplo, al medir la componente del momentum pᵪ no sabemos nada respecto al movimiento de la partícula a lo largo de y y z. Esta circunstancia está relacionada con el fenómeno de la degeneración, el cual consiste en que pueden existir varias autofunciones con el mismo autovalor. En el ejemplo, considerando la función de onda
[06.02.04.09] Ψкₓ(r) = ψ(y, z) exp iкₓx,
es una autofunción de pₓ con el autovalor ℏkₓ, pero con una dependencia en y y z arbitraria. Esto significa que hay muchas funciones diferentes del tipo [06.02.04.09] y todas propias de p, con el mismo autovalor. Está claro que la degeneración se produce porque nuestro conocimiento del estado es incompleto. Nos hace falta escoger más cantidades B, C, ..., cuya medición junto a la de A pueda fijar el estado de manera más precisa, disminuyendo la degeneración. Hasta que lleguemos a una situación en la que no haya ninguna degeneración y el estado esté completamente fijado por el conjunto de los valores medidos de todas estas cantidades.
Sin embargo, aparece una complicación muy característica de la mecánica cuántica. ¿Cuáles son las condiciones para que podamos medir varias magnitudes físicas a la vez? En la física clásica siempre es posible. Por el contrario, en la mecánica cuántica, como veremos, resulta posible sólo en casos excepcionales, cuando las cantidades A, B, C, ... se seleccionan de un modo muy particular. Supongamos que hay dos magnitudes físicas A y B que queremos medir simultáneamente en el mismo estado. Entonces se debe cumplir [06.02.04.10] Aψαb = αψαb, Bψαb = bψαb.
De donde concluimos ABψαb = αbψαb = ABψαb.
En que [06.02.04.11] [A, B]ψαb = 0.
Por lo tanto, podemos distinguir dos casos. Uno de ellos, cuando el conmutador [A, B] es igual a cero entonces [06.02.04.11] se cumple y no presenta obstáculos para realizar mediciones simultáneas. Por el contrario, se da el caso también que el conmutador no es cero y es por tanto otro operador, entonces [06.02.04.11] es la ecuación para su autofunción con un autovalor específico igual a cero. Pero también podría darse una autofunción nula y entonces sí podremos medir A y B a la vez, pero sólo en este autoestado excepcional. Por lo general la medición simultánea es imposible. En definitiva, dos cantidades físicas A y B pueden ser medidas simultáneamente siempre que sus operadores correspondientes conmuten. Volviendo a las características de una partícula, vemos que las componentes de r conmutan entre sí al igual que las componentes de p entre sí y, por lo tanto, pueden ser medidas simultáneamente. Por eso en el ejemplo [06.02.04.09] podríamos añadir a la determinación de pₓ las de por py y pz y buscar una autofunción de las tres componentes a la vez, lo que nos llevaría a la onda plana [06.02.04.08]. Las componentes diferentes de r y p también conmutan [06.02.04.12] [x, py] = [y, pz] = ... = 0.
Sin embargo, las mismas componentes de r y p no conmutan entre sí. Por consiguiente, utilizando [06.02.02.24] encontramos:
[rj, pj] = iℏ,... j = x, y, z.
Lo anterior, reafirma que el conmutador es una constante y no se anula al aplicarlo a función alguna. Por eso en la mecánica cuántica no se puede medir a la vez una coordenada y la componente del momentum (o velocidad) en la misma dirección.Las restricciones sobre las mediciones derj y pj(j = x, y, z) se pueden formular de una manera más detallada como las relaciones de incertidumbre de Heisenberg. Consideremos, por ejemplo, las componentes a lo largo de eje x, x y pₓ. Siempre podemos elegir el sistema de coordenadas de modo que los valores medios de ambas magnitudes sean iguales a cero: [06.02.04.14] <x> = <pₓ> = 0.
Por consiguiente, el cuadrado de la dispersión viene determinado por el promedio del cua¬drado de la magnitud considerada (véase [06.02.04.01]). Supongamos que ψ(t, r) sea una función de onda en el espacio ordinario. Por lo tanto, estudiemos la integral [06.02.04.15] I = ∫ d³r│αxψ(t, r) + βℏψ'(t, r)│² 0,
con parámetros α y β reales. Utilizando pₓ = – iℏ∂ / ∂x obtenemos I = α²<x²> + β²<pₓ²> + iαβ<[x, pₓ]>.
En consecuencia, según [06.02.04.13] el conmutador es el número iℏ, por lo que [06.02.04.16] I = α²<x²> + β²<pₓ²> – ℏαβ 0.
Por lo tanto, la condición inicial de que este polinomio sea definido como semipositivo lleva a la relación <x²><pₓ² ℏ² / 4,
o sea, [06..02.04.17] ΔxΔpₓ ℏ / 2.
lo mismo ocurre para las otras componentes. Esta no es más que un derivado de la relación de incertidumbre o indeterminación que estudiamos en la sección anterior y, significa, que cuanto mayor sea la precisión de la coordenada, tanto menor será la del momentum, y viceversa. Como veremos, hay más relaciones de incertidumbre, como la de tiempo-energía. Cabe precisar que la relación [06.02.04.17] por sí misma no es algo completamente nuevo en la física. En la teoría clásica del movimiento ondulatorio aparece una cierta restricción sobre la localización de un paquete de ondas cuando se trata de hacerlo más estrecho en vectores de onda, lo cual implica que quedan totalmente deslocalizado en el límite de la onda plana. Lo anterior, coincide así de hecho con lo que sucede con la onda plana de la mecánica cuántica, la cual es una función propia del momentum, en la que, como implica [06.02.04.17], la coordenada de posición correspondiente queda completamente indefinida. En la física cuántica, al margen de la interpretación, conlleva la indeterminación la cual se aplica a toda partícula y, por tanto, constituye una relación universal. Como vimos en la sección anterior, esto fue motivo de mucha discusión, ya que parecía marginarse de nuestra experiencia, que, a primera vista, parecía permitir realizar una medición de x y p, con mayor precisión que los limitados resultados de [06.02.04.17]. Por esa razón, en la época en que se inicia el desarrollo de la física cuántica, se presentaron muchos experimentos (en su mayoría de pensamiento) que pudiesen contradecir las relaciones de incertidumbre que nacen de la [06.02.04.17]. Como ejemplo consideremos esquemáticamente uno de los más sencillos. Si se coloca un diafragma con un orificio en el camino de una partícula que se mueve a lo largo de eje z (Fig. 06.02.04.01), pareciera que se pueda fijar su posición en x(x = 0) y a la vez su velocidad (momentum) a lo largo del eje x(p, = 0). Pero el formulador del experimento se olvida de las propiedades ondulatorias del movimiento de la partícula. Aquí tendría lugar una situación análoga al fenómeno de la difracción, según el cual la onda, después de pasar por el orificio, se propagaría dentro de un ángulo α finito del orden de λ / d, donde λ es la longitud de onda y d el diámetro del orificio. Pero así en realidad pₓ, no es cero, sino del orden de pzα. Es claro que Δx = d, por tantoΔxΔpₓ = pzαd = pz λ.
Ahora, si recordamos la relación de De Broglie de la sección 06.02.01, obtenemos ΔxΔp, = 2πℏ de acuerdo con [06.02.04.17]. De hecho, si se midiesen realmente los momentums muchas veces, obten¬dríamos valores con una dispersión dada por [06.02.04.17] para Δx del orden de d.
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