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Para modificar el espectro de amplitud energética de los fotones, podemos estudiar las reacciones de tipo «free-free». En la cercanía de un protón, un electrón pasa de un estado libre a otro estado libre, de energía diferente, emitiendo o absorbiendo un fotón. La probabilidad de esta reacción es proporcional al producto de las densidades de electrones y de protones, multiplicado por una sección eficaz proporcional a (kT/hv)3; en que, la media del recorrido libre de un fotón con relación a esta reacción es: lff µ T3,5/r2. Ahora, si tomamos en cuenta este factor, llegamos a la siguiente conclusión: la observación de la radiación cósmica de fondo térmica nos prueba que el universo alcanzó, en el pasado, una temperatura superior a T = 3 x 106° K y quizás tan elevada corno 3 x 108° K.
Ahora bien, el espectro térmico, realizado a temperatura elevada, se mantiene por la interacción con los electrones hasta la aparición del hidrógeno a 3 x 103° K. Durante este período, la materia y la radiación están a la misma temperatura.
Una vez que se efectúa el desacoplamiento electromagnético, la radiación fósil ya no es afectada por la materia. Las longitudes de onda de los fotones «se estiran» con la expansión del espacio, perdiendo éstos energía de forma inversamente proporcional al factor de escala, pero sin que la forma de la distribución de las amplitudes sea modificada por la expansión.
En efecto, entre los instantes t1 y t2 el fotón pasa de la energía E1 = hv1 a E2 = hv2 = hv1(R1/R2). El número de fotones en un covolumen permanece igual. El número de fotones por unidad de volumen decrece, por lo tanto, como (R1/R2 )3. Introduciendo estas expresiones en la ecuación [9.5.1], se ve que la expansión conserva intacta la forma de la distribución de Planck, pero afecta la temperatura: T2 = T1(R1/R2). Aquí, nos reencontramos con la relación T µ 1/R entre el factor de escala y la temperatura de la radiación cósmica de fondo.
Ahora bien, para un observador inmóvil con relación a la métrica siempre vería una radiación isotérmica en todas las direcciones (isotropía). Como contra parte, un observador en movimiento vería la radiación azulada hacia adelante y enrojecida hacia atrás. La temperatura debería variar con el coseno del ángulo del movimiento. Dicha variación dipolar ha sido bien observada: corresponde a un máximo de 3,4 mili-Kelvin. Permite evaluar la velocidad de la Tierra con relación a un sistema de referencia en el que la radiación es homogénea e isotrópica. La velocidad medida, 620 km/s. en la dirección de las constelaciones de la Hidra y de Centauro, se explica en parte por el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, del Sol en la galaxia y de la galaxia en el cúmulo de Virgo. Sin embargo, existe una componente suplementaria cuyo origen es difícil de determinar.
Otro de los temas que se encuentra ligado con las propiedades de la radiación cósmica de fondo es la transición hidrógeno-plasma. Se sabe que la energía de enlace del átomo de hidrógeno es de 13,6 eV, correspondiente a una temperatura de 1,5 x 105 K. A menudo surge la pregunta de por qué el hidrógeno sólo se forma a una temperatura cuarenta veces más baja. Este problema constituye un bello ejemplo del papel de la entropía en la astrofísica.
La reacción de equilibrio se escribe:
p + e- « H + g
Por su parte, los electrones pueden existir en dos estados diferentes: libres o ligados en átomos de hidrógeno. En un volumen de espacio dado, que contiene una energía total fija, se calcula el estado de ionización (estado macroscópico) que corresponde al mayor número W (max) de estados microscópicos del sistema. Su logaritmo da la entropía.
Existen dos factores contribuyentes al número de estados en el espacio de fases. El primer factor es de orden demográfico: el número de estados crece con el número de partículas. Aquí el plasma es favorecido: hay electrones y protones libres. En la fase atómica, el número de partículas es dos veces menor.
Durante la fase de plasma, se puede considerar a los electrones y a los protones como partículas libres. Sus funciones de partición son dadas por Zi = V / l3th(i), donde l th(i) es la longitud de onda térmica de De Broglie de las partículas de masa i:
l th(i) = h/mvi(térmica) = (2p mikT)1/2
En consecuencia, si todos los átomos están ionizados, la entropía del plasma está dada por:
[9.5.2] Z (plasma) = Ze x Zp = (V / l3th(e)) (V / l3th(p))
El segundo factor que hemos mencionado corresponde a uno de orden energético. En efecto, la formación del hidrógeno libera energía de enlace que aumenta la energía total del sistema y, en consecuencia, incrementa la entropía. Si todos los electrones están ligados en átomos, la entropía del sistema está dada por:
Z (hidrógeno) = (V/ l3th(p)) exp (B/kT)
donde B es la energía de enlace del hidrógeno.
En que, a baja temperatura, el término exp (B/kT) se vuelve mayor que el término V/ l3th(e). Dicho de otra manera, el incremento de entropía debido al desprendimiento de la energía de enlace compensa la pérdida de entropía debida a la disminución del número de partículas. Es esta competencia entre el factor demográfico y el factor energético la que determina la temperatura de la transición plasma-electrón.
Ahora bien, a una temperatura y una densidad dadas, se puede calcular la fracción ionizada x = n(e libre) / n(nucleones) que maximiza la entropía total:
[9.5.3] x/(1 - x) = (2pmekT)3/2exp (-B/kT)/[n (nucleones) h3]
La siguiente tabla, corresponde a cálculos de un universo de W = 0, 1 y H0 = 100 km./s Mpc:
| T | x
| | 2700 | 0,00011 | | 2970 | 0,01124 | | 3240 | 0,303 | | 3780 | 0,954 | | 4860 | 1,000 |
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