DE LA GRAVEDAD CUÁNTICA

15.03.02

Aunque los nudos de lazos hayan sido siempre parte de nuestro mundo; sin embargo, desde que se pensó en su probable existencia, sólo han sido –por poco más de un siglo– una particular fascinación para los matemáticos. En las últimas dos décadas del siglo XIX, la mayoría de los científicos creían que el universo estaba impregnado de una misteriosa sustancia llamada éter, y que la materia se encontraba envuelta por ésta. William Thomson, más conocido como Lord Kelvin (imagen de la izquierda) propugnó que la materia se encontraba adherida a ese éter a través de un nudo específico. Kelvin argumentaba que así como las ondas del océano tienen el agua; las ondas acústicas el aire, las ondas de luz o electromagnéticas también deben tener un medio que las agita y, ese no sería otro, que el éter, la arcilla de la cual se esculpe toda la materia. Para Kelvin la verdadera naturaleza de la materia está en los nudos. Los átomos no son nada más que nudos de éter. Que esos nudos se forman fuera de los vórtices del éter. Su forma es la que da a los átomos su estabilidad y características vibratorias. Si se tabularan todas las formas de nudos, se desarrollaría una tabla con toda la materia elemental de la naturaleza. Esta idea fue la que condujo a muchos científicos a teorizar que se podría llegar a entender la materia simplemente estudiando nudos, lo que indujo a los matemáticos de todo el mundo a construir las tablas de nudos y sus respectivos cuadros. Pero a comienzos del siglo XX –para muchos el siglo de la física– emerge la revolución nuclear y arrincona al modelo del éter, y los matemáticos se fueron quedando solos, por casi un siglo, tras la búsqueda de la Teoría del Nudo. Sin embargo, en la década de los años 80 del siglo XX, un acontecimiento empezó a cambiar la historia. Genetistas, biólogos y químicos descubrieron el ácido dioxiribonucleico (ADN), el cual presenta trazados de nudosos. Sobre esos trazados, se han realizado distintos experimentos que sugieren que los nudos que comportan pudiesen tener alguna consecuencia sobre las particulares características de ellos. El hecho que los nudos del ADN llamara la atención de los genetistas, generó un nuevo interés en ellos por parte de científicos de otras disciplinas en una perspectiva de aplicaciones matemáticas. El primero de los científicos que retomó la teoría de nudos fue John H. Conway de la Universidad de Princenton. En 1980, en el marco de una conferencia, Conway desarrolló varios trucos con trozos de cuerdas con el objeto de demostrar una serie de propiedades que tienen los nudos. En su exposición señaló que su objetivo no era demostrar que la teoría de nudos puede resolver problemas fundamentales, sino que como se puede descubrir un algoritmo que identifique cuando un lazo de cuerda es nudo o no. Es posible amarrar los lazos cerrados de una cuerda en un complicado y enredado manojo que, sin embargo, pueden ser desatados sin cortar la cuerda. Pero lo difícil es cómo poder determinar cuales lazos pueden ser desatados. En esa conferencia, Conway mostró un inteligente truco en el cual grupos de lazos anudados no podían ser desatados y otros sí. Conway había actualizado un antiguo polinomio invariante de nudos. Se trataba de un instrumento bastante poderoso como para distinguir algunos nudos de otros, pero no podía separarlos a todos. En ese tiempo, no era pecado pensar que se trataba de un tema concerniente a la matemática pura sin un uso útil, salvo el de suministrar quizás un método para probar que en las amarras de marineros los nudos no pueden resbalarse. Pero para un matemático, el problema que presenta el tema es fascinante. Pero como con frecuencia suele suceder en las ciencias, diez años después de la mencionada conferencia de Conway se produce un vuelco en el sentido de aplicabilidad de la teoría de los nudos. Se empezó a considerar un uso de ella en la búsqueda de encontrar los medios para resolver el desarrollo descriptivo de la gravedad cuántica y probablemente otros problemas concernientes a la teoría sobre la condensación de la materia. El físico matemático Louis H Kauffman de la Universidad de Illinois en Chicago, en su libro Nudos y Física, es el primero en retomar públicamente el polinomio de nudos de Conway y abre el camino para darle solución a la problemática de la clasificación de ellos.

GENERALIDADES SOBRE LA TEORÍA DE NUDOS

La teoría de nudo es una rama de la topología algebraica donde se estudia lo que se conoce como el problema de colocación, o la fijación de un espacio topológico en otro. La forma más simple de la teoría de nudos implica la fijación del círculo de unidad en el espacio tridimensional. Para los objetivos de nuestro intereses en esta sección, un nudo es definido para ser una curva lineal cerrada de trozos en un espacio tridimensional euclidiano R3, en la cual dos o más nudos se llaman «eslabón». Así un nudo matemático es algo diferente a la idea habitual de un nudo corriente, es decir un pedazo de cuerda con los extremos libres. Por su parte, los nudos estudiados en la teoría de nudo, la generalidad de las veces, se consideran como lazos cerrados. Dos nudos o eslabones son considerados correspondientes si uno puede ser ligeramente deformado en el otro, o equivalentemente, si allí existe un homeomorphism* sobre la R3, el cual traza un mapa de la imagen del primer nudo sobre el segundo. Por otra parte, ese proceso no permite al recorte del nudo pasar sobre sí mismo. En general, se trata de un problema difícil de resolver, en el cual se debe decidir si dos nudos dados son equivalentes. Por ello, la mayor parte de la teoría de nudos es dedicada a técnicas que se desarrollan para ayudar a resolver esa dificultad. A los nudos equivalentes a los pasos poligonales del espacio tridimensional se les llama «domesticados». Otros nudos son conocidos como «salvajes». Ahora bien, en la mayor parte de la teoría se aplican solamente nudos domesticados. Por otro lado, los nudos que son equivalentes al círculo se consideran como «desanudados o triviales». Uno de los nudos más simple dentro de la categoría de los no-triviales, es el nudo trébol, cuya forma se da como lo ilustramos más abajo, tanto en el de la izquierda como en el de la derecha. No es demasiado difícil de ver, pero sí que lo es demostrar, que el trébol no es equivalente al desanudar. Tanto el trébol de la derecha como el de la izquierda son equivalentes sólo si el homeomorphism traza el mapa de uno sobre el del otro e incluyendo un nudo «reflejo o achiral» Tabla de Nudos Los nudos han venido siendo clasificados en orden a su complejidad: de menos a más. Una medida de complejidad que a menudo es usada es el número de cruces, o la cantidad de dobles puntos. Hay sólo un nudo con tres cruces ( reflejo de espejo), el trébol o el nudo del trébol cruzado o cloverleaf. También hay solamente un nudo con cuatro cruces. Hay dos nudos con cinco cruces; tres con seis cruces, y siete nudos con siete cruces. Desde allí, en adelante los números se incrementan sustancialmente. Hay 12.965 nudos con 13 o menos cruces en una proyección mínima y 1.701.935 con 16 o menos cruces. Número de Eslabones Principales Número Mínimo de Cruces 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Numero de Componentes 1 0 1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 2 1 0 1 1 3 8 16 61 ? ? ? ? 3 0 0 0 0 3 1 10 21 ? ? ? ? 4 0 0 0 0 0 0 3 1 ? ? ? ? A continuación, presentamos las ilustraciones de los dieciséis nudos más simples: Los nudos cuadrados, por lo general, no se incluyen en la tabla debido a que ellos pueden ser construidos por nudos más simples. Los nudos que no pueden dividirse en dos o más nudos sencillos se les denomina «nudos primos». Nudo Cuadrado Una última generalidad sobre los nudos. No es fácil describir si la configuración de un nudo, es la más simple para ese respectivo nudo. Como ejemplo, veamos la siguiente desanudación: = ? En la actualidad, en distintos centros de investigación académica se recurre a la teoría de nudos con el objeto de buscar respuestas a una serie de interrogantes que se mantienen en la física. A continuación, puntualizaré algunos tópicos sobre las aplicaciones que se le dan a la teoría:

La teoría de nudos se ha venido transformando en un instrumento importante para el entendimiento de la física de partículas a través de la estadística fraccionaria. Su aplicación se da cuando se trata del caso de partículas que pueden coexistir en una o dos dimensiones con propiedades entre fermiones y bosones. El grupo simétrico es la simetría de fermiones y bosones, mientras el grupo de trenza de la teoría de nudo juega el mismo papel para una u otra. La teoría de nudo ha venido jugando un importante rol en la cuantización de la gravedad canónica. Donde lazos en estado anudado suministran una base de soluciones a las ecuaciones de gravedad cuánticas. La presencia de lazos en los esfuerzos para describir una teoría viable de gravedad cuántica ha adquirido un rol bastante protagónico. La teoría de nudo ha adquirido una estrecha relación con los grupos cuánticos, generalizando o transformando a los clásicos grupos de Lie, lo que ha dado un importante resultado en aplicaciones para la teoría de la condensación de materia, en la teoría de cuerdas y en otras componentes de la física. Lo anterior, implica que esta teoría se encuentre estrechamente relacionada con la simetría. Por otra parte, los grupos cuánticos tienen una gran aplicación en la construcción de teorías de campo cuánticas topológicas, los cuales pueden ser usados para encontrar invariancias e invariantes.

Nudos-Cuerdas En los últimos tiempos, lazos anudados han sido presentados en enunciados de nuevos proyectos teóricos que buscan la construcción definitiva de un modelo gravitacional cuántico que conduzca a la esperada unificación de las cuatro fuerzas de la naturaleza. En consecuencia, es natural preguntarse si estos lazos, como los que se describen en lo que se ha venido llamando en el seno de la escuela de cuerdas «gravedad cuántica de lazos», son la misma materia de las cuerdas de la teoría de cuerdas. Sería agradable pensar que por coincidencia, las dos son relacionadas, pero no los dejemos llevar por el entusiasmo hasta que terminemos el análisis de esta sección y de las próximas que hablaremos sobre la «Teoría de Trenzas» y la «Teoría de la Gravedad Cuántica de Lazos». Uno de los primeros físicos que asumió el desarrollo de la gravedad canónica fue John Archibald Wheeler de la Universidad de Princenton. Wheeler, en sus distintos trabajos sobre el tema usó el término «el superespacio» para referirse a la geometría de espacios tridimensionales que se describen en la teoría. Por su parte, los físicos cuerdistas, en los inicios del desarrollo de su idea, propugnaron que la simetría espaciotemporal debe ser generalizada a algo que ellos también llamaron «el superespacio». ¿Son estos dos tipos de superespacio relacionados o una coincidencia? Coincidencia ¡claro está! El superespacio de Wheeler no tiene nada que ver con el superespacio de las teorías de supercuerdas. Ellos son muy diferentes. De la misma manera, la mayor parte de los teóricos de cuerda sostienen que probablemente no hay ninguna conexión entre los lazos del modelo de Gravedad Cuántica de Lazos y las cuerdas de la teoría de cuerdas. Los nudos que los lazos hacen en el espacio no pueden pasar desde uno al otro sin alterar el estado cuántico. No así las supercuerdas, ya que pueden pasar una hacia otra sin mayores alteraciones. A pesar de esto hay un pequeño grupo de físicos matemáticos como John Baez de la Universidad de California y Lee Smolin del Perimeter Institute, Waterloo Canadá, quienes han sugerido que pudiera haber una conexión permanente. Su sugerencia la sostienen señalando que tanto las cuerdas como los lazos tienen un origen común en modelos gauge y, sus descripciones, comparten formulaciones matemáticas y grupos de física cuántica. Uno más, de los tantos debates que involucran a las supercuerdas. [*] Homeomorphism.- es un mapa con trazado continuo entre dos espacios que también tienen un inverso continuo.

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