Las Transformaciones de Lorentz

04.05

Existe la convicción, de muchos estudiosos de la relatividad, de que las ideas de Einstein no pueden ser bien comprendidas si no se conocen las experiencias previas de otros científicos respecto a medición de la velocidad de la luz, las experiencias de Michelson, las discusiones sobre el éter y las ideas de Lorentz. Sobre los dos primeros temas, ellos ya fueron tocados en las dos separatas anteriores de este capítulo IV, de acuerdo a la planificación hecha para los objetivos didácticos de este trabajo. Con respecto a las ideas de Lorentz, ellas fueron mencionadas sucintamente también en esas separatas, pero aquí está concebido ahondar un poco más en lo que se conoce como «transformación de Lorentz».

Si en un estado inercial la velocidad de la luz es igual para todos los observadores, según lo indicado por el experimento de Michelson-Morley, las ecuaciones para el tiempo y el espacio no son difíciles de encontrar. ¿Pero qué significa? Significa que la longitud de una barra de metro o la medición del tictac de un reloj depende de quién la realice.

A los finales del siglo XIX, los físicos se vieron enfrentado a un problema que se relacionaba con las ideas de las transformaciones de Galileo y el electromagnetismo. En 1856, el físico inglés James Clerk Maxwell había conseguido formalizar la teoría de los fenómenos eléctricos y magnéticos gracias a la formulación de un modelo tan importante como la mecánica: la teoría del electromagnetismo. Tanto la electricidad, como las distintas manifestaciones del magnetismo, habían sido descubiertas algunos siglos atrás. Por otro lado, unos pocos años antes, se había descrito el fenómeno de las corrientes eléctricas. Pero, en la fecha indicada, Maxwell los ligó como distintas manifestaciones de un solo tipo de fenómenos: los electromagnéticos. Instituyó cuatro leyes, cuatro ecuaciones fundamentales que describen todos esos fenómenos. La luz fue identificada como una onda de ese tipo, oscilaciones alternadas de los campos eléctricos y magnéticos, cuya frecuencia de oscilación da origen a los distintos colores (fig. 04.05.02). Esto originó, que tanto las leyes de Newton y Maxwell, describiesen todos los fenómenos conocidos a fines de ese siglo. Ambas teorías se consideraban como el fundamento medular de la estructura de la naturaleza. Todas las demás leyes físicas eran derivaciones o combinaciones de esos dos grupos básicos, más la termodinámica.

Fig. 04.05.02. a) La luz está constituida por un campo eléctrico y uno magnético que varían alternadamente, apuntando en direcciones perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. b) Las distintas longitudes de onda de la radiación se perciben en forma diferente y se conocen con distintos nombres. La luz visible sólo forma una pequeña parte del espectro electromagnético. Se necesitan distintas técnicas y efectos físicos para detectar las diversas longitudes de onda, lo que explica que seamos sensibles sólo a algunas de ellas.

Otro físico de la época, simplemente experimentando con fórmulas encontró una transformación de las velocidades, que no era la sencilla transformación galileana, v' = v+V, sino otra más rara y complicada, conocida por su descubridor como «transformación de Lorentz», que se expresa de la siguiente manera:

[04.05.01] v' = ( v + V ) / ( 1 + v V / c² )

donde c es la velocidad de la luz. Esta transformación dejaba las leyes del electromagnetismo con forma invariante. Luego, existía una contradicción entre la teoría mecánica y la nueva teoría de Maxwell.

¿Cuál es la transformación correcta? Tal como ya lo mencionamos en la separata 04.02 de este capítulo, ambas teorías describen los fenómenos con bastante precisión. Pero las dos no son simultáneamente coherentes cuando se miran desde dos sistemas inerciales, donde deberían ser equivalentes. Hubo muchos ensayos para solucionar el problema, tratando de cambiar las fórmulas de transformación, las fórmulas de Newton o suponiendo propiedades o leyes especiales en experimentos particulares. Muchos de estos envolvían electrones, partículas elementales que se mueven usualmente a muy alta velocidad. Algunos investigadores hasta plantearon que los electrones tenían propiedades muy especiales, para tratar de salvar las contradicciones. Pero la dificultad era más profunda, porque la luz misma es una onda de tipo electromagnético, descrita por las ecuaciones de Maxwell, por lo que de partida algo tan corriente corno ella no obedecía las leyes mecánicas.

Pero los problemas no sólo llegaban ahí. Galileo había deducido –en una época en que no se habían aún descubierto contracciones de metros ni dilataciones temporales– que si se tiene un sistema en reposo K y otro en movimiento K' (a velocidad v respecto de K a lo largo del eje x), las coordenadas de un punto del espacio para K son x,y,z y, para K', x',y',z'.

Ahora bien, si se requiere hallar las coordenadas de K, a partir de las de K', se tiene las siguientes ecuaciones:

[04.05.02] x' = x - vt
y' = y
z' = z
t' = t.

A ese conjunto de ecuaciones, se le conocen como «transformación de Galileo». Pero como sus resultados no eran los satisfactorios para explicar los fenómenos de longitudes que habían aparecido en la física en los finales del siglo XIX, a Hendrik Lorentz le pareció que algo no andaba bien y dedujo a partir de su famosa «contracción lorentziana» que se requerían ciertos cambios, como los que a continuación se detallan:

[04.05.03] z' = z
y' = y
x' = ( x - vt ) / K

Para clarificar lo descrito, consideraremos un sistema de referencia K en «reposo» y, otro K', en movimiento uniforme a lo largo del eje x de K (con velocidad v). Partamos de una situación en la que ambos sistemas están superpuestos en un instante t₀ = 0. Un rayo de luz es emitido desde el origen de las coordenadas de K (que coincide con el de K' en t = t' = t₀ = 0) a lo largo del eje de x y en un punto de coordenada x con respecto a K y, un observador, percibiría el rayo de luz en un instante t para K ( y t' para K' ). Por su parte, la velocidad de la luz en el vacío, es la misma para ambos sistemas. Para la orientación relativa en el espacio de las coordenadas que se grafican en la Fig. 04.05.03, el problema se resuelve con las siguientes ecuaciones:

[04.05.04]

A ese sistema de ecuaciones se le conoce como las «Transformaciones de Lorentz»

Fig.- 04.05.03

Ayudados por el gráfico precedente, estamos en condiciones de deducir que en función de las transformaciones de Lorentz, la aplicación de la ley de transmisión de la luz en el vacío para los sistemas K y K', es correcta. Un rayo de luz que es emitido a lo largo del eje x y estimulada su velocidad en función de la ecuación:

[04.05.05]x = ct ,

. en que c es la velocidad de la luz.

Ahora bien, según las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz, esa relación simple entre x y t implica, a su vez, una relación entre x' y t'. En efecto, si sustituimos en la primera y cuarta ecuación a x por ct, enotonces obtenemos:

[04.05.06]

en que, dividido por la expresión x' = ct', inmediatamente obtenemos que la propagación de la luz para el sistema K' ocurre según esta ecuación. En consecuencia, la velocidad de transmisión de la luz para el sistema K' es igual a c. El mismo resultado se obtiene para los rayos de luz que se orientan en cualquier otra dirección.

Precisemos que el conjunto de relaciones que hemos descrito fue establecido dentro del contexto de la electricidad y el magnetismo por H. A. Lorentz, al considerar éste la necesidad de realizar una transformación para reconciliar la trayectoria de partículas en movimiento cuando son consideradas en diversos marcos de referencia. En las correspondientes ecuaciones de la transformación, el tiempo es considerado bajo el mismo tratamiento que las coordenadas espaciales, lo que implica que la descripción de dos sucesos separado se hace difícil de realizar al margen del espacio y el tiempo. Lo anterior, complica el trabajo para llegar a determinar la interacción de dos partículas, tanto en distancia como velocidad, para diversos marcos de referencia.