A lbert Einstein, al margen de tener una brillante mente intuitiva, era también muy afortunado, porque los datos extraídos de su nuevo modelo matemático que predecían la curvatura de los rayos de luz al pasar cerca de un astro fueron comprobados en la observación que se realizó sobre la luz que emitía una estrella, en un eclipse solar acontecido en 1919. Un hecho ocurrido muy pronto después de que su modelo llegó a ser público. La desviación de la luz alrededor del sol fue, en sí, un éxito profético de la relatividad general.
Un rayo de luz que cruza por las cercanías del Sol se desvía. Ello, se debería a que la luz tiene energía, que es equivalente a una diminuta masa, en función de la relación propuesta por Einstein E = mc². Por lo tanto, la luz es atraída por la masa del Sol, desviando el rayo de su trayectoria. Ahora, si en vez de un haz de luz, pasa cerca de él una partícula de materia, un protón o un pequeño aerolito, ocurre lo mismo. La partícula tiene masa y se desvía de su trayectoria original.
Ahora bien, con el objeto de cumplir con el propósito de este trabajo, procedamos a analizar, en el marco de un enfoque matemático, el fenómeno que se ha señalado.
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Fig. 05.04.04.01 |
La figura 05.04.04.01 a la izquierda muestra matemáticamente tres diversas trayectorias posibles para un haz de luz que viaja alrededor del sol: la trayectoria sin gravedad, la trayectoria según lo predicho por la gravedad newtoniana, y la trayectoria según las predicciones de la teoría de la relatividad general de Einstein.
El ángulo de deflexión df nos indica cuán lejos fue desviada por el Sol la trayectoria recta de un haz de luz al pasar por su cercanía. El ángulo de deflexión es igual a cero cuando no hay gravedad. En consecuencia, se requiere para poder estimar la desviación, comparar los ángulos de deflexión de los modelos newtonianos y relativistas para la gravedad y el espaciotiempo.
Por su parte, el punto R0 , corresponde a la distancia más cercana al Sol que alcanza un rayo de luz en su trayectoria. Estandardizando nuestro sistema de coordenadas tenemos que f = 0 corresponde a R = R0 y, calculamos df, de la siguiente manera:
- Sin gravedad, y sin la participación de los modelos gravitatorios newtonianos y relativistas, se dice que la trayectoria de un rayo de luz corresponde a una línea recta. En consecuencia, la trayectoria de una línea recta en las coordenadas centrales y polares del sol sería:
1 / r = ( 1 / R0 ) cos (f ),
donde R0 es el punto crucial mencionado arriba.
Luego, se requiere encontrar Df , que es el ángulo en que se desplazó el haz de luz desde el inicio hasta el final de su travesía a través del espaciotiempo. Observando la Fig. 05.04.04.01 e imaginando la trayectoria recta del haz que se extiende infinitamente lejos de la derecha y de la izquierda, tenemos que r = ¥, lo cual por la simetría del sistema de coordenadas se obtiene:
0 = (1 / R 0 ) cos ( Df / 2 )
Por lo tanto Df = p y corresponde a la diferencia de la desviación angular efectuada hacia fuera por el haz de luz, ya que éste llega de un lugar infinitamente lejos y también se aleja desplazándose en su recorrido infinitamente lejos. En consecuencia, el ángulo de deflexión para una trayectoria en línea recta es:
df = Df – p = 0
- Gravedad newtoniana.- Se trata de un modelo no apropiada para poder describir el comportamiento de la propagación de partículas sin masa cuando transita por las cercanías de un astro con relevancia másica como el Sol. Sin embargo, es posible representar con una de sus ecuaciones una órbita hiperbólica newtoniana para una partícula con esas características:
1 / r = (G M (m / L )2 ) ( 1 + e cos (f)), e = ( 1 + (2E / m ) ( L / GMm) 2 ))1/2,
donde la excéntrica e es una función de la de la energía de la partícula entrante E, m la masa y L el momentum angular. Siendo el punto crucial:
R0 = ( L / m )2 / ( G M ( 1 + e )).
Ahora bien, si se requiere describir la propagación de la luz con la gravedad newtoniana, se puede determinar la energía E = m v2 / 2 = m c2 / 2 de modo que ( 2 E / m ) = c2 . En que el momentum angular de la unidad másica entrante (L/m) se convierte en L / m = R0 c. Por lo cual la total desviación angular Df = p + df es dada por :
0 = ( 1/ R0 ) cos( Df / 2 ) + (G M / c2 ) / R02,
– cos( p / 2 df / 2 ) = sin( df / 2) ~ df / 2 = (G M /c2 ) / R0
en que finalmente dfN = 2 (G M / c2 ) / R0 es el ángulo de deflexión para la luz usando el modelo newtoniano cuando se tiene la oportunidad de hallar una partícula con velocidad c.
- Gravedad einstiana.- En la teoría de la relatividad general, la trayectoria de un haz de luz se describe como una geodésica nula, con el objeto de satisfacer la correspondiente ecuación de la métrica de Schwarzschild , cuya función de distancia soluciona las ecuaciones de Einstein para los sucesos que ocurren alrededor de un objeto masivo ubicado en el espacio exterior, como sería para el caso del Sol. Una ecuación aproximada para la trayectoria de un haz de luz es:
1/r = (1/R0 ) cos(f) + ((G M / c2 ) / R0 2) (2 - cos2 (f)).
El término cos2 (f) puede ser omitido si el ángulo de deflexión df no es significativo y Df / 2 está cerca de p / 2. Por lo tanto, el rango menor para df se obtiene de la siguiente manera:
0 = ( 1 / R0 ) cos( Df / 2 ) + 2 ( GM/c2 ) / R02,
– cos( p / 2 + df / 2 ) = sin(df / 2) ~ df / 2 = 2 (GM / c2 ) / R0 .
Por lo tanto, dfE = 4 (G M / c2 ) / R0 = 2 dfN es el ángulo de deflexión para la luz, el cual se halla usando una geodésica nula en la métrica de Schwarzschild según la relatividad general.
Las observaciones sobre la deflexión de la luz emitida por una estrella cuando sus rayos pasan alrededor del Sol, comenzaron en los eclipses solares que se produjeron a contar de 1919 y, las mediciones que se realizaron en esos sucesos, apoyaron al modelo de Einstein; no así, al newtoniano, que predice una desviación angular de la mitad del tamaño de la que ha sido observada.
| Fig. 05.04.04.02.- Einstein interpretó la fuerza de gravedad como una distorsión real dentro de la estructura del espacio. En efecto, esto significa que los objetos forman en el espacio curvas alrededor de ellos, de modo que cualquier objeto que se halle en las proximidades es desviado de su curso por la curvatura del espacio. Este fenómeno también afecta a la luz en su trayectoria a través del cosmos.
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Hasta ahora, hemos estado analizando distintos aspectos sobre la curvatura del espacio y su efecto sobre los rayos de luz, pero también podemos estudiar el tema desde otro ángulo, esgrimiendo el argumento de que la masa del Sol es la que genera la curvatura y lo único que hace la luz es seguir el camino más recto que puede. Observamos que la luz sigue una trayectoria curva en el espacio. De ello, podemos deducir que la desviación de la luz se debe a la atracción gravitacional producida por la cercanía de los astros a su línea de recorrido. En consecuencia, pensando en términos clásicos, se concluye que la luz debe tener masa. Además, la magnitud de la desviación se puede relacionar con la frecuencia o color de los rayos de luz. Como existe una conexión directa entre energía y frecuencia para la luz, una ley de física cuántica que Einstein también descubrió, se deduce finalmente una relación que asimila energía y masa (hay que recordar que la constante que las liga es c², un valor extremadamente significativo). Esto muestra que en un sistema lógicamente coherente, como lo es una buena teoría física, el modelo matemático es interpretable desde otra perspectiva y se obtiene una visión razonable y válida, que muchas veces puede arrojar nueva luz sobre los fenómenos.
Si se argumenta ese fenómeno a través de una interpretación clásica de la gravedad, se diría que son los grandes astros estelares los que ejercen una fuerza sobre la partícula de luz, produciéndole una aceleración que le cambia su trayectoria. Claro está, que no existe una explicación seriamente fundada sobre cómo se origina esa fuerza. En el fondo, podría decirse que se trata de un concepto introducido para modelar lo que se ve, a saber, la desviación de la trayectoria original. Por su parte, la teoría de la relatividad reemplaza la «fuerza» de la gravedad por una interpretación distinta. La masa del Sol, por ejemplo, hace que la curvatura del espaciotiempo a su alrededor se modifique y, son los propios rayos de luz, los que «dibujan» esa geometría. Ellos describen trayectorias que revelan la curvatura existente del espacio.
| | Fig. 05.04.04.03. |
En la Fig. 05.04.04.03, que se ha insertado a la izquierda, se representa el efecto distorsionador del Sol en el espacio que lo circunda, donde forma una depresión, la que corresponde al efecto curvador de su masa sobre la geometría del espaciotiempo. Ahora, si lejos del «Sol», se lanza una partícula, ésta se mueve sobre una parte del plano de la geometría del espaciotiempo que tiene muy poca inclinación, está casi lisa, siguiendo una trayectoria casi recta. Visto desde lejos se diría que el cuerpo pequeño se mueve prácticamente sin sentir fuerzas. En cambio, si la partícula se lanza de modo que pase cerca del «Sol» en el plano de la geometría, ella siente la inclinación y es desviada por el socavón que produce. Si se lanza con gran velocidad, la partícula baja y sube la depresión, desviándose de su trayectoria incidente. Si se lanza con baja velocidad, la partícula puede quedar atrapada por la depresión. Se transforma en un «planeta».
Si contamos con una buena capacidad para lanzar la imaginación, supongamos entonces que pudiésemos proyectar sobre un suelo embaldosado las sombras de las posiciones del «Sol» y de las trayectorias de partículas, que serían lo único visible. Lograríamos la «imagen» de una masa central, a la cual se acercan las de los otros cuerpos, que son desviados y luego se alejan. No se necesita mucho esfuerzo para imaginar que alguien que sólo observa las sombras, interprete que la esfera másica más grande, representando el Sol, desvía las trayectorias de las partículas porque ejerce una fuerza sobre ellas. En efecto, las trayectorias de éstas son curvadas por la aparente presencia de la sombra de la esfera. Mientras más cerca pasan, más fuertemente son deflectadas.
En el párrafo anterior, nos hemos imaginado un hecho que es una interpretación de la realidad, que en esencia permanece oculta, ya que sólo genera diversas imágenes de sí. De poder observar lo imaginado, por su naturaleza sólo veríamos las sombras de los objetos. En este símil imaginario, la física ve una parte de la realidad, que permanece escondida detrás de la apariencia. Por otro lado, no distinguiríamos en nuestra observación las curvaturas que hemos mencionado, sólo veríamos su efecto en la desviación de las trayectorias de las partículas.
 | Fig.- 05.04.04.04 |
Ahondando más sobre el símil de las sombras que nos hemos imaginado, si la masa de la esfera es la misma pero su tamaño es mucho menor, la curvatura o distorsión que produce en el plano geométrico del espaciotiempo lejos de ella es siempre la misma. En cualquier punto lejano la inclinación de la superficie no variará. La «fuerza» que actúa sobre un cuerpo muy pequeño va a ser igual, porque es consecuencia de la inclinación: la atracción que siente el cuerpo es idéntica. La diferencia se va a hacer sentir cuando ese pequeño cuerpo se aproxima a una distancia menor que el tamaño de la esfera original.
Allí los deslizamientos sobre las pendientes de las curvas son más pronunciados, hay un mayor efecto de atracción. O sea, se da que esa atracción es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Claro está, que en la relativista el efecto gravitatorio es más complicado que en el modelo clásica, donde su efecto es de acción directa. En la relatividad la acción de una masa sobre otra es intermediada por la distorsión que produce el en el espaciotiempo el cuerpo que tiene el mayor volumen másico, lo que implica que la interacción que se tiene que producir requiere un tiempo para que se lleve acabo. Lo anterior, podría ser considerado como sólo interpretaciones alternativas y equivalentes. Pero ¿qué pasa con los cuerpos más pequeños si el más grande entra en movimiento? Las situaciones que se dan, presentan diferencias notables, debido a las reacciones que ocurren en los más pequeños.
| | Fig.- 05.04.04.05 |
Para poder comprender mejor la naturaleza dinámica del espaciotiempo, observemos las figuras 05.04.04.04 y 05.04.04.05 y, a través de esas ilustraciones, imaginemos que éste es una malla tridimensional de elásticos anudados en ciertos puntos. Los nudos de la malla, donde los elásticos estarían amarrados entre sí, representan los sucesos (Fig. 05.04.04.04). Éstos son los entes últimos, reales, los eventos que ocurren, iguales para todos los observadores. Ellos están ligados por los elásticos, que pueden estirarse o acortarse y que representan los intervalos entre eventos. Las distancias y tiempos entre eventos pueden cambiar según el observador. Los elásticos representan la capacidad del espaciotiempo de sufrir deformaciones, pero manteniendo el tramado originado por los sucesos. Dependiendo de la ubicación de cuerpos y fuerzas, y de la posición y velocidad del observador, el entramado formado por los eventos, se estira y recoge. Cambia su curvatura (Fig.- 05.04.04.05).
Uno de los primeros test a que fue sometida la relatividad general fue, como lo mencionamos al principio, la observación en 1919 de la deflexión de la luz de una estrella que es vista próxima al borde del disco solar. En ese test se pudo comprobar, tal como lo pronosticaba Einstein en su teoría, que la trayectoria de un rayo de luz deja de ser rectilínea cuando el camino que recorre lo ejecuta en la vecindad del Sol u otro astro por que debe ceñirse a la curvatura del espaciotiempo impresa por la masa del astro. La deflexión de la luz afecta la visual a la estrella y se manifiesta entonces como una alteración de la posición real de la estrella en la bóveda celeste (aquella que la estrella tiene cuando el astro responsable de la deflexión tiene otra ubicación en el cielo). Su efecto es semejante al producido por la refracción de la luz cuando se observa desde afuera a un objeto sumergido en un estanque. Según la relatividad general la luz de una estrella que es vista en dirección rasante al disco solar se desvía 1,75” de arco.
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